Als Reaktion auf meinen letzten Beitrag, Wenn Cuomo in der Lage gewesen wäre, direkt gegen Mamdani anzutreten, hätte er gewonnen?Soziologe Kieran Healy hat zwei Karten gepostet, die zeigen Ergebnisse der jüngsten New Yorker Bürgermeisterwahl auf Bezirksebene. Einer von ihnen ist oben und unten ist ein Element vom anderen.

Die obere Karte verwendet ein bidirektionales Farbschema von der Artwork, die mir gefällt, mit der Ausnahme, dass ich normalerweise die dunkleren Farben an den Extremen sehen würde, die in der Mitte zu Weiß verblassen, daher warfare es für mich überraschend, dass dies in die andere Richtung ging.

In seinem Beitrag teilt Healy viele Particulars mit, nicht nur über seine Auswahl, wie die Karten aussehen sollen, sondern auch über die Datenverarbeitung und alle Schritte auf dem Weg dorthin.

Im Anschluss schreibt Healy:

Der Gesamteffekt eines Punktdichtediagramms hängt von der Wahl der Farben ab, insbesondere wenn mehr als eine Punktart angezeigt wird. Dies hängt wiederum stark mit der relativen Helligkeit zusammen, die in der Praxis nicht nur von den im Diagramm codierten Werten abhängt, sondern auch von der Artwork des Screens oder der Leinwand, auf dem sie angezeigt oder projiziert wird, wie viel Umgebungslicht vorhanden ist usw. usw.

Auch hier – wie im Beitrag erwähnt – sind Punktdichtediagramme bei der Überwindung des „Land wählt nicht“-Issues (in diesem Fall „Bezirke sind nicht actual“) besser als Choroplethen, aber am Ende des Tages wird jede räumliche Darstellung von so etwas wie individuellen Abstimmungsdaten auf die eine oder andere Weise von diesem Downside betroffen sein. Im Großen und Ganzen müssen Sie additionally einfach mehrere Darstellungen der Daten anzeigen, von denen viele oder die meisten davon besser nicht als Karten vorliegen. (Kartogramme, ob auf Gitterbasis oder auf einer Artwork Kugelpackungsmethode, stellen eine weitere Lösung dar und schaffen natürlich ihre eigenen Probleme.) Es gibt keine Methode, die allen anderen überlegen ist, und ich präsentiere die Punktdichtekarte nicht als solche. Ich verwende solche Dinge in meinen eigenen Kursen gerade deshalb, weil man am Ende viele Entscheidungen darüber treffen muss, wie die Daten angezeigt werden sollen, und es intestine ist, die Schüler zu ermutigen, diese Entscheidungen und ihre Konsequenzen durchzuarbeiten.

Es ist auch intestine, den Schülern zu verdeutlichen, dass diese Entscheidungen und die damit verbundenen Kompromisse nicht wirklich effektiv in der Grafik oder Karte selbst kommuniziert werden können, weil sie bereits getroffen wurden. Und hoffentlich erkennen die Studierenden am Ende (wie bei jeder Artwork von Methode oder Werkzeug), wie wichtig es ist, dass eine Arbeitsgemeinschaft von Forschern den Kontext bereitstellt, in dem diese Dinge gemacht, interpretiert und als vertrauenswürdig eingestuft werden. Bilder, Grafiken und Karten sind ein treffendes Beispiel für das allgemeine Downside, gerade weil es für sie so einfach ist, diesem Kontext zu entkommen, wenn sie im Umlauf sind. (Ich habe ein aktueller Publikumsvortrag darüber.)

Ich stimme Healys Punkten zu. Phil und ich haben einmal geschrieben ein PapierAlle Karten von Parameterschätzungen sind irreführend.

Der Metapunkt hier ist, dass die Menschen eine (falsche) Instinct haben, dass jede komplizierte Info in einer einzigen Handlung vermittelt werden kann. Ein Grund Ich hasse das Berühmte Das Diagramm „Napoleon in Russland“ besagt, dass es diese Artwork des Denkens gefördert hat. Wenn Sie versuchen, ein Diagramm zu erstellen oder zu lesen, kann es hilfreich sein, zunächst einen Schritt zurückzutreten und sich darüber im Klaren zu sein, dass ein einziger Plot (oder sogar zwei Plots) im Allgemeinen nicht ausreicht.

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Tom Ferguson ist vorbeigekommen diesen NachrichtenartikelWer hat wirklich den Money Edge der Midterms 2026?, und conflict enttäuscht, diese völlig falsche Grafik zu sehen:

Das Downside hierbei ist nicht die Einbeziehung des nicht mehr kandidierenden Platner, wie es in einer Fußnote heißt. Vielmehr, wie Ferguson sagt,

Die Instances zeigt, wie Platner Collins übertrifft; während sie Millionen und Abermillionen Greenback voraus ist, wie unsere Diagramme zeigen.

Hier ist das Diagramm von Ferguson neulich mit uns geteilt:

Wenn Collins 39 Millionen Greenback gesammelt hat, warum hat die Instances dann gesagt, dass Collins nur 8 Millionen Greenback gesammelt hat? (Sie haben auch Platners Gesamtsumme unterschätzt, allerdings deutlich weniger, nämlich 13 Millionen US-Greenback statt 16 Millionen US-Greenback.)

Ich fragte Ferguson, wie das passiert sei – wie konnte die Instances so große Fehler machen? Er antwortete:

Wahrscheinlich haben sie einfach die Wahlkampfgelder der Kandidaten genutzt. Die Tremendous Pacs berichten an anderer Stelle. Man muss sie nachschlagen. Das ist regular; Darüber waren wir uns im Klaren, als wir Platner gemacht haben. Republikanische Kandidaten wie Collins operieren tatsächlich mit einer Menge Geld. Das ist übrigens die berühmte Koordinationsdiskussion. Jetzt ist es durch die Entscheidung des Obersten Gerichtshofs sogar juristisch hinfällig.

Collins wird von vielen verschiedenen Fahrzeugen unterstützt. Leicht zu finden und nicht neu.
Die Instances-Reporter sind einfach faul; Sie wissen von den Tremendous Pacs, können sich aber nicht zur Arbeit durchringen. Das ist die freundliche Interpretation.

Dayum.

Letztendlich liegt das Downside hier nicht so sehr bei der New York Instances – so groß sie auch ist, sie ist nur eine Nachrichtenorganisation, und sie versucht ihr Bestes zu geben –, sondern bei der Aushöhlung der Nachrichtenmedien im Allgemeinen.

Anders ausgedrückt: Das Downside liegt nicht darin, dass die New York Instances nicht das Downside ist. Das Downside ist, dass die New York Instances eine der wenigen großen unabhängigen Nachrichtenorganisationen überhaupt ist. Wenn viele andere Organisationen diese Dinge melden würden, müssten wir uns nicht darauf verlassen, dass die Instances keinen Fehler macht.

Ferguson fährt fort:

Vergleichen Sie die endlosen Artikel über Demokraten, die bei den Beratungen in Maine reden. Der Milliardärsaufgabe Der Instances-Typ sollte etwas an Collins arbeiten.

Vgl. Unsere Quellendiskussion im ersten Beitrag:

Wir haben Daten der Federal Election Fee verwendet, um ähnliche Zahlen für die viel diskutierte Senatswahl in Maine zu erstellen. Die amtierende Senatorin Susan Collins kandidiert für die Republikaner, während Graham Platner ihr demokratischer Herausforderer ist. Unsere Summen Rechnen Sie mit Beiträgen von Tremendous Pacs und anderen externen Organisationen, die im Namen eines Kandidaten oder gegen einen Kandidaten ausgegeben werden (was wir als Ausgaben für den Gegner des Kandidaten zählen).

Die Notiz ist der Hammer, additionally kopiere ich sie hier:

Massendaten-Downloads der Federal Election Fee werden nicht blitzschnell aktualisiert. Es dauert eine gewisse Zeit, bis einzelne elektronische Einreichungen in diese Dateien übernommen werden. In diesem Fall fehlt bei den Massen-Downloads der Daten der 12-tägige Pre Major Report (12P) (eingereicht vor der Vorwahl am 9. Juni) und enthält Beiträge an den Hauptwahlkampfausschuss bis einschließlich 20. Mai 2026. Bei den Massen-Downloads fehlen auch die unabhängigen Ausgaben, die bis zum Wahltag getätigt wurden. Wir haben die elektronischen Unterlagen des Hauptwahlkampfkomitees der Kandidaten und die unabhängigen Ausgaben eingeholt, um die Lücke bei den Massendatendownloads zu schließen. Wir haben diese elektronischen Unterlagen vom 12. bis 14. Juni heruntergeladen. Collins nutzt mehrere Ausschüsse, um Geld zu sammeln und auszugeben, und diese Ausschüsse haben unterschiedliche Einreichungsfristen. Das Pine Tree Outcomes PAC hat einen 12P eingereicht und meldet Spenden bis einschließlich 20. Mai. Das Lead Maine Committee hat Spenden bis zum 28. April. Das Stronger Maine Tremendous PAC hat Spenden bis zum 31. März, das Collins Victory Committee ist der 31. März und das Susan Collins for Maine JFC ist der 31. März. Collins sammelt auch Geld für ihre wichtigsten Kampagnen- und Führungskomitees über Joint Fundraising Committees (JFCs). Hierbei handelt es sich um Gemeinschaftskonten, die es mehreren Kandidaten oder Parteigremien ermöglichen, gemeinsam Geld zu sammeln. Ein einzelner Spender stellt dem JFC einen „Eltern“-Scheck aus, der dann unter den teilnehmenden Komitees aufgeteilt wird. Wenn Collins eindeutig Begünstigte solcher Vereinbarungen ist, wie zum Beispiel beim Collins Victory Committee, zählen wir den vollständigen Elternscheck als Teil ihrer Spenderverteilung. Wenn Collins nur einer von mehreren Kandidaten ist, die am JFC beteiligt sind, wie etwa bei der One-Group-Senate-Mehrheit, zählen wir nur den unterteilten Anteil, der Collins direkt als Teil ihrer Spenderverteilung gegeben wird, und nicht den vollständigen Elternscheck. Indem wir den übergeordneten Scheck für Ausschüsse, die sie kontrolliert, aber nur den unterteilten Scheck für Ausschüsse, denen sie lediglich beitritt, zählen, können wir den wahren Beitrag jedes Spenders an Collins genau einmal gutschreiben, ohne die gleichen {Dollars} doppelt zu zählen oder Gelder zu absorbieren, die im Namen anderer Kandidaten gesammelt wurden.

Additionally, ja, sie mussten etwas arbeiten.

Der oben verlinkte Artikel der New York Instances ist aus zwei Gründen scheiße:

1. Es ging völlig schief und die Geschichte über den massiven Fundraising-Vorteil des republikanischen Kandidaten wurde völlig verfehlt.

2. Es conflict in einem überheblichen Stil geschrieben, ohne dass der Leser erkennen konnte, dass in der Nachrichtenmeldung tatsächlich mehr als die Hälfte des Wahlkampfgeldes fehlte.

Ich werde dies an meine Kollegen bei der Instances weiterleiten. Vielleicht führen sie eine Korrektur durch?

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Dieser lange Beitrag behandelt vier Themen:

1. Die beeindruckende Siegesserie der Knicks, die nach einem Rückstand den NBA-Titel in fünf Spielen gewannen;

2. Die Martingaleigenschaft von Wahrscheinlichkeitsvorhersagen;

3. Ein Beispiel für das Lernen aus der Simulation;

4. Wie wir (manchmal) Wahrscheinlichkeits- und Statistikforschung betreiben.

Ich weiß nicht genug über die Zielgruppe dieses Blogs, um zu wissen, welches der vier Themen die meisten von Ihnen ansprechen wird. Für das Web insgesamt ist es die Nummer 1; Für die meisten von Ihnen dürfte es Nr. 3 sein.

Ich interessiere mich für alle vier, weshalb ich das jetzt alles aufschreibe. Es ist mir peinlich zu sagen, dass dies mehrere Stunden gedauert hat. Ursprünglich hatte ich geplant, diesen Sonntagmorgen nach dem Spiel zu posten, aber es hat einige Zeit gedauert, bis ich zur Aufgabe kam. Der größte Teil des Aufwands lag im Schreiben des Codes, nicht im Schreiben des Textes. Und es gibt tatsächlich nicht viel Code, wie Sie sehen können, wenn Sie zum Ende dieses Beitrags scrollen. Der Hauptaufwand bestand nicht darin, die Syntax herauszufinden oder gar zu debuggen (obwohl es einiges davon gab), sondern herauszufinden, was ich überhaupt codieren wollte.

Positiv zu vermerken ist, dass es sich hier um eine Recherche handelt, die ich schon seit einiger Zeit durchführen wollte. (a) Ich glaube additionally nicht, dass diese Mühe umsonst ist, auch nicht über den Bildungs- und Unterhaltungswert hinaus, den sie für Sie haben magazine, und (b) Ich habe daraus schon einiges gelernt. Ein Blick auf Daten ist immer intestine; Mit Simulationen zu experimentieren ist immer intestine.

Okay, los geht’s.

Das NBA-Finale

Hey, Denken Sie daranaus Spiel 4 der letzten NBA-Finals:

Oder der Verlauf des Spiels, das danach folgte:

Der Vollständigkeit halber finden Sie hier die Aufzeichnungen für die Spiele 3, 2 und 1, ebenfalls mit freundlicher Genehmigung von ESPN:

In Spiel 4 wurde geschätzt, dass die Spurs zu einem Zeitpunkt eine Siegchance von 99,6 % hatten. Aber wie Sie vielleicht gehört haben, haben sie verloren.

Excessive Gewinnwahrscheinlichkeiten

Waren die angegebenen Gewinnwahrscheinlichkeiten zu extrem?

Einerseits passieren natürlich gelegentlich ungewöhnliche Ereignisse. Wenn die Wahrscheinlichkeit einer Niederlage bei 0,4 % liegt, sollte das in 1 von 250 Fällen passieren, und allein in der vergangenen Saison gab es viel mehr als 250 Basketballspiele. Andererseits sollen sehr ungewöhnliche Ereignisse nur sehr selten passieren, und es gab einen Punkt im dritten Viertel von Spiel 4, an dem der Algorithmus von ESPN den Spurs eine Siegchance von 97,1 % gab, ein Punkt in Spiel 1, an dem den Spurs eine Likelihood von 94,1 % gegeben wurde. Es gab einen Second in Spiel 2, in dem den Knicks eine Siegchance von 98,2 % zugeschrieben wurde, und natürlich haben sie dieses Spiel gewonnen, aber wenn man bedenkt, dass das Endergebnis 105-104 struggle, nach Unentschieden zwischen 97-97 und 104-104, scheint es im Nachhinein, dass diese 98,2 % etwas zu selbstbewusst waren.

Sollten wir diesen Wahrscheinlichkeiten gegenüber misstrauisch sein? Eine Möglichkeit, diese Frage zu stellen, besteht darin, die Kalibrierung zu überprüfen: Wenn wir alle Spielsituationen sammeln, in denen eine Mannschaft eine Siegesquote von 99,6 % hat, gewinnt sie dann in 99,6 % der Fälle?

Andererseits wähle ich die extremsten Werte dieser Gewinnwahrscheinlichkeiten. Sie sollten die Gewinnwahrscheinlichkeiten jederzeit kalibrieren lassen, und es ist in Ordnung, davon abhängig zu machen, aber nur davon, was zuvor kam.

Das heißt, wenn wir die Gewinnwahrscheinlichkeiten am Ende des ersten Viertels, am Ende der ersten Hälfte oder am Ende des dritten Viertels betrachten, sollten sie kalibriert werden. Und wenn Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten nur dann betrachten, wenn sie größer als 99 % sind, sollten sie kalibriert werden. Und wenn man sich nur die Gewinnwahrscheinlichkeiten anschaut, wenn sie bisher im Spiel maximal sind, sollten sie kalibriert werden. Mir ist jedoch nicht klar, dass Sie erwarten sollten, dass die Kalibrierung für die Gewinnwahrscheinlichkeiten so gewählt wird, dass sie für das gesamte Spiel maximal ist, denn wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t p

Die Martingaleigenschaft von Wahrscheinlichkeitsvorhersagen

Darüber haben wir in Abschnitt 1.6 unseres Artikels aus dem Jahr 2020 geschrieben: Informationen, Anreize und Ziele in Wahlprognosen:

Und es kam auch in einigen Blogbeiträgen vor:

ab 2020: Glauben wir wirklich, dass die Demokraten eine 88-prozentige Likelihood haben, die Präsidentschaftswahl zu gewinnen?

ab 2020: Mehr über die Martingaleigenschaft probabilistischer Prognosen und einige andere Probleme mit unserem Wahlmodell

ab 2024: „Ungewöhnliche Wettmuster bei mehreren Tempelspielen“: Es ist Martingal-Zeit, Child!

auch ab 2024: Es ist Martingal-Zeit, Child! Wie bewertet man probabilistische Prognosen, bevor das Ereignis eintritt? Rajiv Sethi hat eine Idee. (Hinweis: Es handelt sich um Zeitreihen.)

Ich gehe davon aus, dass die Gewinnwahrscheinlichkeiten von ESPN näher an der Kalibrierung liegen als die Quoten auf dem Prognosemarkt oder modellbasierte Wahlprognosen. Prognosemärkte hängen von den Wettenden ab und es gibt keinen Grund, eine Kalibrierung zu erwarten, zumindest nicht, bis der Markt in gewisser Weise vollständig ausgereift ist. Modellbasierte Wahlprognosen basieren auf Näherungsmodellen mit bekannten Pathologien (zum Beispiel hier), daher sind sie nicht universell kalibriert. Die Wahrscheinlichkeiten von ESPN werden ebenfalls nicht kalibriert – auch sie basieren auf einem unvollständigen Modell –, aber ich gehe davon aus, dass das Modell auf Tonnen von Daten trainiert wurde, additionally glaube ich nicht, dass es weit davon entfernt sein sollte.

Wenn mir jemand die von Second zu Second geschätzten Gewinnwahrscheinlichkeiten aus einer großen Datenbank mit Basketballspielen schicken könnte, könnten wir einen Blick darauf werfen.

In der Zwischenzeit können wir eine gewisse Instinct erlangen, indem wir anhand eines mathematischen Modells simulieren, mit dem wir Gewinnwahrscheinlichkeiten genau berechnen können.

Den Prozess simulieren

Nehmen Sie eine einfache Brownsche Bewegung mit Drift an, bei der die Bewertungsdifferenz y

Eine coole Sache an diesem Modell ist, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit anhand der Punktedifferenz zu jedem Zeitpunkt im Spiel trivial berechnet werden kann.

Wie falsch kann man liegen?

Zur Veranschaulichung zeige ich die Ergebnisse – den Punktestand und die Gewinnwahrscheinlichkeit während des Spiels – für 18 unabhängig simulierte Spiele. Der Einfachheit halber gehe ich davon aus, dass die Punkteverteilung 0 beträgt, sodass davon ausgegangen wird, dass die beiden Groups immer gleichwertig sind. Und ich werde das Spiel 10 Mal professional Minute durchlaufen, sodass das Spiel ungefähr aus einer Summe von 480 unabhängigen Schritten besteht.

Der Code ist unten; hier sind die Ergebnisse:

Ich weiß nicht genug über Basketball, um ein Gefühl dafür zu haben, wie plausibel diese als Spielergebnisse sind (abgesehen von der mangelnden Diskretion des Ergebnisses; wir haben ein kontinuierliches Modell verwendet, damit wir die relevanten Wahrscheinlichkeiten einfacher analytisch berechnen können). Sie ähneln dem Spiel Knicks-Spurs nicht allzu sehr, abgesehen von der einen Simulation unten hyperlinks im Diagramm, in der die „Spurs“ im dritten Viertel mit 10 Punkten Vorsprung führten und mit einer Siegwahrscheinlichkeit von 95,6 % das Most erreichten, bevor sie schließlich verloren.

Um ein umfassenderes Bild zu erhalten, habe ich 10.000 Spiele simuliert. (Nur als Anhaltspunkt: Es gibt 30 NBA-Groups, additionally gibt es jedes Jahr 82*30/2=1230 Spiele der regulären Saison.)

Für jedes Spiel habe ich „max_p_wrong“ berechnet: die höchste Gewinnwahrscheinlichkeit, die dem letztendlichen Verlierer des Spiels zugewiesen wird. In meiner Simulation beginnt jedes Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 50/50 – denken Sie daran, der Einfachheit halber gehe ich immer von einer Punkteverteilung von 0 aus –, additionally muss max_p_wrong irgendwo zwischen 0,5 und 1 liegen. Folgendes kommt dabei heraus:

Extrem falsche Wahrscheinlichkeiten sind additionally keine Seltenheit. Wie häufig sind sie? Von diesen 10.000 Spielen hatten 61 einen max_p_wrong von mehr als 99 %. Das heißt, in 0,6 % der Spiele überschreitet die letztendlich verlierende Mannschaft irgendwann im Spiel die Schwelle von 99 % Siegwahrscheinlichkeit.

Dieses Ergebnis sollte steigen, wenn wir zur kontinuierlichen Aktualisierung übergehen. Aber wir aktualisieren bereits 10 Mal professional Minute. Wenn Sie diesen Zeitplan auf 50 Mal professional Minute erhöhen, erhöht sich Pr(max_p_wrong > 0,99) auf 0,0075, und wenn Sie diesen Zeitplan auf 100 Mal professional Minute erhöhen, beträgt er 0,0076. Ich vermute additionally, dass dies ungefähr die kontinuierliche Grenze ist.

OK, nur zur Kontrolle, ich simuliere 100.000 Spiele, und jetzt beträgt Pr(max_p_wrong > 0,99) 0,0072 bei 10 Updates professional Minute oder 0,0084 bei 50 Updates professional Minute. Ich gehe additionally einen Schritt weiter und sage, wenn wir die genaue Wahrscheinlichkeit unter kontinuierlicher Aktualisierung berechnen würden, kämen wir auf 0,0085.

Das struggle eine Überraschung. Bevor ich diese Simulation durchführte, ging ich davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass p_win für den letztendlichen Verlierer 99 % übersteigt jederzeit im Spiel selektionsbedingt mehr als 1 % betragen würde. Ich schätze, meine Instinct struggle falsch. Vielleicht liegt es daran, dass ich darauf konditioniere, welches Crew gewinnt. (Natürlich, wenn Sie den anderen Weg gehen, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass p_win letztendlich 99 % überschreitet Gewinner liegt bei 100 % im kontinuierlichen Restrict, da der Gewinner mit ziemlicher Sicherheit feststeht, wenn noch eine Epsilon-Sekunde im Spiel verbleibt.)

Additionally, ja, die obige Grafik ist irgendwie interessant. Nach unserem Modell werden die meisten Spiele nicht allzu weit von im Nachhinein peinlichen Wahrscheinlichkeitsschätzungen abweichen, aber das kann manchmal passieren.

Es wäre interessant, die obige Grafik mit dem zu vergleichen, was Sie aus einer Datenbank mit Spielquotendaten von ESPN oder was auch immer erhalten würden.

Um es klarzustellen: Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass die obige Grafik irgendeine universelle Eigenschaft von Martingalen darstellt. Es ist ein ganz besonderes Modell! Aber man muss irgendwo anfangen. Auch die Existenz verschiedener zentraler Grenzwertsätze lässt mich hoffen, dass dies ein allgemeines Ergebnis für eine entsprechend eingeschränkte Klasse stetiger Martingalprozesse sein könnte. Es ist eine Forschungsfrage!

Eine überraschend gleichmäßige Verteilung

Um den Prozess besser zu verstehen, habe ich die Gewinnwahrscheinlichkeiten nach dem Ende jedes der drei Viertel für die 10.000 simulierten Spiele gesammelt. Nachfolgend finden Sie Histogramme dieser Wahrscheinlichkeiten und Kalibrierungsdiagramme:

Es überrascht nicht, dass die Kalibrierung in Ordnung ist. Schließlich werden die Wahrscheinlichkeiten anhand desselben Modells berechnet, aus dem auch die Daten stammen. Tatsächlich ist selbst die scheinbare Anomalie im Diagramm unten hyperlinks nur ein Artefakt bei kleinen Stichproben, das verschwindet, wenn wir die Anzahl der Simulationen auf 100.000 erhöhen.

Interessanter sind die Histogramme. Es macht Sinn, dass die Verteilung der Gewinnwahrscheinlichkeiten im Laufe des Spiels bei 0,5 beginnt und dann allmählich bei 0 und 1 ansteigt. Tatsächlich liegen die Gewinnwahrscheinlichkeiten am Ende des vierten Viertels genau bei 0 und 1.

Aber es ist lustig, dass die Verteilung der Siegwahrscheinlichkeiten zur Halbzeit völlig gleichmäßig ist. Es muss ein direktes mathematisches Argument geben, das eine Instinct für dieses Ergebnis liefert; Es ist zu perfekt, um nur ein Zufall zu sein.

Hier muss noch viel recherchiert werden:

– Verallgemeinerung über das kontinuierliche Modell hinaus, um diskrete Bewertungsänderungen zu ermöglichen.

– Verallgemeinerung über den Random Stroll hinaus; Es gibt keinen Grund, warum das Modell Markovianisch sein muss.

– Gibt es allgemeine Aussagen über diese Verteilungen der Gewinnwahrscheinlichkeiten unter beliebigen Martingalprozessen? Ich gehe davon aus, dass es einige Ergebnisse gibt. Zumindest sollte es einige Ungleichungen und Grenzwertsätze geben.

– Betrachtung realer Daten aus Basketball, anderen Sportarten und anderen Bereichen, einschließlich Wahlprognosen und Prognosemärkten.

Unser ultimatives Ziel besteht hier darin, ein allgemeines Maß für die Abweichung von der Martingaleigenschaft von Wahrscheinlichkeitsvorhersagen zu finden. Wir wollen etwas, das auf jeden Datensatz angewendet werden kann, natürlich mit größerer Präzision, wenn die Serien länger werden, zeitlich feiner verteilt sind und Replikationen verfügbar sind (wie bei den Tausenden von Basketballspielen).

PS Hier ist der R-Code zum Erstellen der obigen Simulationen und Grafiken:

set.seed(123)

blank_plot <- operate() {
  plot(0,0,xlab="",ylab="",xaxt="n",yaxt="n",bty="n",sort="n")
}

winprob <- operate(y, t, T, delta, sigma) {
  ifelse(t==T, (signal(y)+1)/2, pnorm((y + delta*(T-t))/(sigma*sqrt(T-t))))
}

N_games <- 10000

sigma <- 2
T <- 48
N_time_points <- T*10
t <- seq(0, T, size=N_time_points)
t_gap <- T / (N_time_points - 1)

y <- array(NA, c(N_time_points, N_games))
p_win <- array(NA, c(N_time_points, N_games))
y_final <- rep(NA, N_games)
p_wrong_halftime <- rep(NA, N_games)
max_p_wrong <- rep(NA, N_games)
for (j in 1:N_games){
  unfold <- 0
  delta <- unfold/T
  increments <- rnorm(N_time_points - 1, t_gap*delta, sigma*sqrt(t_gap))
  y(,j) <- c(0, cumsum(increments))
  p_win(,j) <- winprob(y(,j), t, T, delta, sigma)
  y_final(j) <- y(N_time_points,j)
  p_wrong_halftime(j)  0, 1 - p_win(N_time_points/2,j), p_win(N_time_points/2,j))
  max_p_wrong(j)  0, max(1 - p_win(,j)), max(p_win(,j)))
}

N_plots <- 18
par(mfrow=c(N_plots/3,6), mar=c(3,3,1,1), mgp=c(1.5,.5,0), tck=-.01)
t_range <- vary
y_range <- max(abs(y(,1:N_plots)))*c(-1,1)
p_range  0.99))

par(mfrow=c(3,3), mar=c(3,3,1,1), mgp=c(1.5,.5,0), tck=-.01)
hist(max_p_wrong, breaks=seq(0,1,0.01))
blank_plot()
blank_plot()

for (i in 1:3) {
  hist(p_win(N_time_points*i/4,), xlab="ESPN's Pr(win)", most important=paste("Histogram of win prob from finish of quarter", i), cex.most important=.9)
}

for (i in 1:3){
  in_quarter = T*(i-1)/4) & (t < T*i/4)
  p_win_vector <- as.vector(p_win(in_quarter,))
  y_final_vector <- as.vector(matrix(y_final, nrow=sum(in_quarter), ncol=N_games, byrow=TRUE))
  N_bins <- 20
  boundaries <- seq(0, 1, size=(N_bins+1))
  lo <- boundaries(1:N_bins)
  hello <- boundaries(2:(N_bins+1))
  p_in_bin <- rep(NA, N_bins)
  mean_in_bin <- rep(NA, N_bins)
  freq_in_bin <- rep(NA, N_bins)
  for (okay in 1:N_bins) {
    in_bin  lo(okay) & p_win_vector < hello(okay)
    p_in_bin(okay) <- sum(in_bin)/size(in_bin)
    mean_in_bin(okay) <- imply(p_win_vector(in_bin))
    freq_in_bin(okay)  0)
  }
  plot(mean_in_bin, freq_in_bin, pch=20, xlim=c(0,1), ylim=c(0,1), xaxs="i", yaxs="i",
       xlab="ESPN's Pr(win)", ylab="Empirical Pr(win)",
       most important=paste("Calibration from quarter", i), cex.most important=.9)
}

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Aus die neuesten Nachrichten:

Das unvorhersehbarste Rennen um das Bürgermeisteramt, das New York Metropolis seit Jahrzehnten erlebt hat, ging am Dienstag in die letzte Woche, als Zohran Mamdani und der frühere Gouverneur Andrew M. Cuomo mit Hunderttausenden bereits abgegebenen Stimmzetteln die fünf Bezirke um einen späten Vorsprung jagten.

Herr Mamdani, ein 34-jähriger Abgeordneter des Bundesstaates, bleibt der klare Spitzenkandidat für das Rathaus, nachdem er Herrn Cuomo bei den Vorwahlen der Demokraten im Juni verärgert hat. . . .

Mehr als 223.000 New Yorker gaben in den ersten drei Tagen der vorzeitigen Stimmabgabe ihre Stimme ab. Wenn dieses Tempo anhält, könnte die Stadt bei den Parlamentswahlen mit der höchsten Wahlbeteiligung seit 1993 antreten. . .

Die größte Herausforderung für Herrn Cuomo könnte Curtis Sliwa, der Republikaner, sein. . . . Jede Stimme, die er bekommt, verringert die Gewinnchancen von Herrn Cuomo.

Im Nachhinein wäre es für Cuomo vielleicht besser gewesen, bei den Vorwahlen der Republikaner als bei den Vorwahlen der Demokraten zu kandidieren.

Was mich jedoch stört, ist die Behauptung, dass dies „das unberechenbarste Rennen um das Bürgermeisteramt ist, das New York Metropolis seit Jahrzehnten erlebt hat“.

Haben Reporter der New York Instances kein Gedächtnis? Hier ist das Ergebnis der letzten Bürgermeisterwahl:

50,4 % bis 49,6 % . . . Viel näher oder unvorhersehbarer kann man nicht sein!

Okay, es gibt einen Unterschied: Im Second reden wir über die allgemeinen Wahlen zum Bürgermeister, und das Adams/Garcia-Rennen vor vier Jahren warfare die Vorwahl. Man kann mit Recht sagen, dass dieses Jahr das unvorhersehbarste ist allgemein Die Wahl zum Bürgermeister, die New York Metropolis seit etwas mehr als zwei Jahrzehnten erlebt hat, ist die unvorhersehbarste, seit Michael Bloomberg den inzwischen vergessenen Mark Inexperienced mit 50,3 % zu 47,9 % besiegt hat. Das warfare wirklich unvorhersehbar – soweit ich mich erinnere, galt Inexperienced vor den Anschlägen auf das World Commerce Heart im September desselben Jahres als Favorit. Es gab auch 2009, in dem Bloomberg einen anderen inzwischen vergessenen Politiker, Invoice Thompson, besiegte: Der Stimmenvorsprung betrug nur 50,7 % zu 46,3 %, was einigermaßen knapp ist, aber ich denke, das Ergebnis wurde allgemein vorhergesagt.

Aber „das unberechenbarste Rennen um das Bürgermeisteramt, das New York Metropolis seit Jahrzehnten erlebt hat“? Nein. Die diesjährige Wahl ist weniger unvorhersehbarer als das Rennen 2021.

PS Zu sagen, dass die Wahlen 2025 weniger vorhersehbar sind als 2021, heißt nicht, dass wir wissen, was passieren wird! Wie es in dem Nachrichtenartikel richtig heißt, wird Mamdani bevorzugt, es bleibt jedoch Unsicherheit bestehen, insbesondere hinsichtlich der Wahlbeteiligung.

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Ein Kollege schreibt:

Hast du gesehen? dieser Artikel von Nate Cohn bei der New York Occasions?

Ein paar Dinge darin kamen mir seltsam vor. Zum einen schreibt er:

Die Tendenz bei der Rückrufabstimmung, den Sieger der letzten Wahl zu überbewerten, bedeutet, dass die Gewichtung der Rückrufabstimmung einen vorhersehbaren Effekt hat: Sie erhöht die Unterstützung für die Partei, die die letzte Wahl verloren hat.

Stimmt das immer? Ich glaube, ich habe einige kleine algebraische Beispiele, bei denen dies nicht der Fall ist. Darüber hinaus scheint seine Tabelle hier dem zu widersprechen?

Da ich neugierig warfare, schickte ich folgende Nachricht an Nate Cohn:

Ein Kollege hat mich auf einen Artikel von Ihnen hingewiesen und eine Frage gestellt. siehe unten. Haben Sie in Ihrem Artikel einen Fehler gemacht?
Zum allgemeinen Thema der Vorteile der Anpassung an die Parteiidentifikation empfehle ich außerdem die folgenden Artikel:
von 2001: http://stat.columbia.edu/~gelman/analysis/printed/aprvlRv1.pdf
ab 2016: http://stat.columbia.edu/~gelman/analysis/printed/swingers.pdf
von 2016: https://www.nytimes.com/interactive/2016/09/20/upshot/the-error-the-polling-world-rarely-talks-about.html
ab 2016: https://slate.com/news-and-politics/2016/08/dont-be-fooled-by-clinton-trump-polling-bounces.html

Keine Antwort! Ich habe das schreckliche Gefühl, dass meine Nachricht zu viele Hyperlinks hatte und in seinem Spam-Filter hängen geblieben ist. Vielleicht ist das Bloggen die beste Möglichkeit, dies zu kommunizieren.

Wie auch immer, ich habe mich nicht mit dieser speziellen Frage der Anpassung an vergangene Abstimmungen befasst; Es könnte durchaus Feinheiten geben, die mir nicht bekannt sind. Im Allgemeinen halte ich es für eine gute Idee, sich auf ein gewisses Maß an Parteilichkeit einzustellen (erinnern Sie sich). Neuanalyse von Lohr und Brick (siehe die berühmte Literary Digest-Umfrage von 1936), sei es Parteiidentifikation, Parteiregistrierung oder zurückgerufene frühere Abstimmungen, denn wir verfügen auf Landesebene über relevante Informationen zu diesen Variablen. Aber ja, diese Messungen selbst weisen Fehler auf, sodass die beste Anpassung nicht eine einfache „Gewichtung“ sein wird.

PS Mein Kollege fügt diesen Erklärer hinzu:

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