In Teil 1haben wir die relativen Chancen für Angriff und Verteidigung in Risiko, dem Spiel um die Eroberung der Welt, besprochen. Am Ende von Teil 1 kamen wir zu dem Schluss, dass der Angriff eine 47,15-prozentige Likelihood hat, den Kampf für den ersten Soldaten zu gewinnen, und wir fragten uns, wie die berühmten Eroberer unter diesen Bedingungen ihre Heldentaten vollbringen konnten. Die Diskussion über den zweiten Soldaten haben wir uns für Teil 2 aufgehoben.

Zur Erinnerung: Bei Risiko würfelt der Angriff mit bis zu 3 Würfeln, während die Verteidigung mit bis zu 2 Würfeln würfelt. Die höchsten Würfelergebnisse werden verglichen und der Verlierer verliert einen Soldaten, bei einem Unentschieden gewinnt die Verteidigung. Als nächstes werden die zweithöchsten Würfelergebnisse verglichen und auch hier verliert der Verlierer einen Soldaten, bei einem Unentschieden gewinnt die Verteidigung.

Nun, hier sind wir. Tauchen wir ein in die Materie.

(Hier jSie finden Code, in dem ich die folgenden Wahrscheinlichkeiten bestätige.)

Natürlich berechnen wir bei den Wahrscheinlichkeiten des Verteidigers lediglich den niedrigsten Wurf, da er nur zwei Würfel hat. Daher sind die Wahrscheinlichkeiten ein Spiegelbild der Wahrscheinlichkeiten, die wir beim höchsten Wurf gesehen haben. Diesmal gibt es 11 Möglichkeiten, die einen zweithöchsten Wurf von 1, 9 für 2, 7 für 3 usw. ergeben. Die Wahrscheinlichkeit kann berechnet werden, indem man sie durch 36 teilt, die Gesamtzahl der möglichen Permutationen für die beiden Würfel der Verteidigung.

Die Berechnung des zweithöchsten Wurfs der drei Würfel des Angreifers unterscheidet sich erheblich von den Berechnungen in Teil 1. Ich bin ehrlich. Ich hatte damit ein wenig zu kämpfen. Bei den folgenden Berechnungen müssen zwei Dinge beachtet werden.

1. Wir müssen sowohl berücksichtigen, wie viele Ergebnisse möglich sind Und wie viele Möglichkeiten es gibt, jedes Ergebnis eintreten zu lassen. Ein Ergebnis von (6, 2, 3) ist beispielsweise natürlich ein einzelnes Ergebnis, kann aber auf 6 Arten eintreten, je nachdem, auf welchem ​​Würfel jeder Wert vorkommt. Es kann eines der folgenden Ergebnisse sein: {(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2)}. Dieses Ergebnis entspricht daher 1*6 = 6 Permutationen. Ein weiteres Beispiel ist ein Ergebnis mit genau Zwei Einsen sind eigentlich eine Sammlung von 5 Ergebnissen, da der verbleibende Würfel jeden Wert zwischen 2 und 6 annehmen kann. Und Es kann auf drei Arten auftreten: {(1, 1, x), (1, x, 1), (x, 1, 1)}, entsprechend den drei möglichen Positionen des verbleibenden Würfels. Dieses Ergebnis entspricht additionally tatsächlich 5*3 = 15 Permutationen.
2. Bei Doubles und Triples müssen wir vorsichtig sein. Diese müssen gesondert betrachtet werden, denn es gibt zwar 6 Möglichkeiten, das Ergebnis (1, 2, 3) zu erhalten, aber nur 3 Möglichkeiten, ein (1, 2, 2) zu erhalten und nur 1 Möglichkeit, ein (2, 2, 2) zu erhalten.

Unter Berücksichtigung der oben genannten Überlegungen sind wir bereit, fortzufahren.

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, eine 1 als zweithöchste Zahl zu würfeln. Das ist relativ unkompliziert. Natürlich ist auch die niedrigste Zahl eine 1. Wir werden jetzt den Fall außer Acht lassen, in dem alle drei Würfel 1 sind. Der höchste Würfel kann dann jeden Wert zwischen 2 und 6 annehmen und auf jedem der drei Würfel erscheinen, da wir nicht angegeben haben, welcher der drei Würfel die höchste Zahl enthält. Das ergibt insgesamt 3*5=15 Permutationen. Wenn wir den Fall einer dreifachen 1 hinzufügen, ergeben sich insgesamt 16 Permutationen. Durch ein symmetrisches Argument können wir berechnen, dass dieselbe Anzahl von Permutationen eine 6 als zweithöchste Zahl ergibt.

Wie wäre es als Nächstes mit einer 2 als zweithöchstem Wurf? Für den Second lassen wir die Möglichkeit mehrerer Zweien außer Acht und nehmen an, dass der höchste Wurf höher als 2 und der niedrigste Wurf niedriger als 2 warfare. Der höchste Wurf kann 4 Werte (3–6) annehmen und der niedrigste muss 1 sein, was insgesamt 4 Ergebnisse ergibt, und diese können bei jeder von 6 Permutationen der Würfelpositionen auftreten (3 Möglichkeiten für die Place des höchsten Wurfs (Würfel 1, Würfel 2 oder Würfel 3) und die beiden verbleibenden Möglichkeiten für die Place des niedrigsten Wurfs), was insgesamt 4*6=24 Permutationen ergibt. Wir werden jetzt doppelte Zweien betrachten, aber keine dreifachen Zweien. Wenn es genau 2 Zweien gibt, kann der verbleibende Würfel einen von 5 Werten (außer 2) annehmen, und dieser verbleibende Würfel könnte jeder der 3 Würfel sein, was weitere 5*3=15 Permutationen ergibt. Wenn wir den letzten Fall der dreifachen 2 hinzufügen, erhalten wir insgesamt 24+15+1 = 40 Permutationen. Eine parallele Argumentation ergibt dasselbe Ergebnis für den zweithöchsten Wurf von 5.

Und zum Schluss: Wie wäre es, wenn wir eine 3 oder eine 4 würfeln? Beginnen wir mit 3. Wenn wir die Möglichkeit mehrerer Dreien außer Acht lassen, kann der höchste Wurf 3 beliebige Werte (4, 5 oder 6) annehmen und der niedrigere Wurf 2 beliebige Werte (1 oder 2), was insgesamt 6 Ergebnisse ergibt. Dies kann wiederum bei jeder der 6 Permutationen von zwei Würfeln auftreten, was insgesamt 6*6 = 36 Permutationen ergibt. Im Fall von genau 2 Dreien könnte der andere Würfel 5 beliebige Werte (alle außer 3) annehmen und bei jedem der drei Würfel auftreten, was weitere 5*3 = 15 Permutationen ergibt. Wenn wir die letzte Möglichkeit von 3 Dreien hinzufügen, ergibt sich insgesamt 36+15+1=52 Permutationen. Eine parallele Berechnung ergibt ebenfalls 52 Permutationen für einen zweithöchsten Wurf von 4. Diese Ergebnisse sind in den folgenden Abbildungen zusammengefasst.

Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeiten der Angriffsergebnisse genau symmetrisch sind. Um mathematisch genau zu sein, gilt P(x) = P(6-x). Wir werden auf diesen Punkt zurückkommen.

Als nächstes vergleichen wir die Wahrscheinlichkeiten von Angriff und Verteidigung direkt.

Wir sehen, dass der Angriff hier einen deutlichen Vorteil hat. Es ist viel wahrscheinlicher, dass er Werte von 4, 5 oder 6 erreicht, als die Verteidigung.

Genug der Verzögerung, kommen wir zur Schlacht.

Wir müssen die beiden Kämpfe getrennt betrachten. In Teil 1 analysieren wir den ersten Kampf, additionally wer den höchsten Wurf erzielt, und die Analyse des zweiten Kampfes, additionally des zweithöchsten Wurfes, überlassen wir Teil 2.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Angreifer den höchsten Wurf erzielt, zählen wir zunächst die Permutationen, bei denen der Verteidiger den höchsten Wurf von x erzielt, und berechnen, wie viele dieser Permutationen zu einem klaren Sieg der Verteidigung, einem Unentschieden, das an die Verteidigung geht, oder einem Sieg des Angriffs führen würden.

Da beispielsweise, wie oben berechnet, die Likelihood, dass der höchste Wurf der Verteidigung eine 5 ist, 9/36 beträgt und es insgesamt 6⁵ = 7776 Permutationen gibt, ergeben (9/36) * 7776 = 1944 dieser Permutationen eindeutig einen höchsten Verteidigungswurf von 5. Um zu gewinnen, muss der Angreifer dann einen höchsten Wurf von 6 erzielen, dessen Wahrscheinlichkeit, wie oben berechnet, 91/216 beträgt, sodass (91/216) * 1944 = 819 der 1944 Permutationen, die einen höchsten Verteidigungswurf von 6 ergeben haben, zu einem Sieg für den Angriff führen. Um ein Unentschieden zu erreichen, muss der Angreifer die höchste 5 würfeln, deren Wahrscheinlichkeit 61/216 beträgt, sodass (61/216) * 1944 = 549 dieser Permutationen zu einem Unentschieden führen und der Relaxation (1944–819–549 = 576) zu einem klaren Sieg der Verteidigung.

Wir können ähnliche Berechnungen für alle möglichen Ergebnisse der Verteidigung durchführen. Siehe die folgende Tabelle.

Wir können dann die bedingte² Wahrscheinlichkeit eines Verteidigungssieges, eines Unentschiedens und eines Angriffssieges berechnen, indem wir die Anzahl der Permutationen, die das ausgewählte Ergebnis ergeben (z. B. Angriff gewinnt), durch die Anzahl der breiteren Gruppe von Ergebnissen (z. B. Verteidigung würfelt höchstens eine 5) dividieren.

Wir können die bedingten Wahrscheinlichkeiten auch visualisieren.

Diagramm 4 vermittelt den gleichen falschen Eindruck, den die meisten Leute zunächst haben, nämlich dass der Angriff insgesamt einen großen Vorteil hat. Dies liegt jedoch daran, dass es die Wahrscheinlichkeiten der höchsten Verteidigungswürfe selbst ignoriert. Tatsächlich sind höhere Würfe deutlich wahrscheinlicher als niedrigere Würfe, wie aus Tabelle 3 hervorgeht.

Aus diesem Grund sind Gesamtwahrscheinlichkeiten ein effektiveres Maß. Es ist sogar noch einfacher, die Gesamtwahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses zu berechnen. Wir teilen einfach jede Permutationszahl durch die Gesamtzahl der möglichen Permutationen, die 7776 beträgt.

Wir können dann die Gesamtzahl der Permutationen, die zu einem Sieg des Angriffs führen (3667), addieren und durch die Gesamtzahl der möglichen Permutationen (7776) dividieren, um eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 47,15 % für den Angriff zu erhalten.

Unten sehen Sie eine Tabelle mit den Gesamtgewinnwahrscheinlichkeiten nach dem höchsten Verteidigungswurf. Der Einfachheit halber zählen wir ein Unentschieden als Teil eines Verteidigungssieges.

Zum Schluss berechnen wir die gemeinsamen³ Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Höchstwurfs für Verteidigung und Angriff. Da die Höchstwürfe für Angriff und Verteidigung unabhängig sind, können wir die Wahrscheinlichkeiten einfach miteinander multiplizieren, um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Beachten Sie, dass in den beiden folgenden Grafiken Rot einen Sieg für den Angriff anzeigt, während Blau einen Sieg für die Verteidigung und Hellblau ein Unentschieden anzeigt, das an die Verteidigung geht.

Wir können diese Daten auch visuell darstellen. Bitte beachten Sie die Konfiguration der Achsen im folgenden Diagramm, die so konfiguriert wurden, dass sie maximale Sichtbarkeit gewährleisten.