Dimitri Bertsekas PhD ’71, Jerry McAfee (1940), emeritierter Professor für Ingenieurwissenschaften am Division of Electrical Engineering and Laptop Science (EECS), leitender Forscher am Laboratory for Info and Choice Programs (LIDS) und Fulton-Professor für Computational Choice Making an der Arizona State College, starb am 3. Juni in seinem Haus in Belmont, Massachusetts. Er warfare 83 Jahre alt.

Im Laufe seiner Karriere erstreckte sich Bertsekas‘ Forschung über mehrere Bereiche und hatte einen entscheidenden Einfluss auf diese, darunter Optimierung, Steuerung, groß angelegte Berechnungen, Reinforcement Studying und künstliche Intelligenz. Er warfare als Berater für verschiedene Privatunternehmen tätig. Herausgeber mehrerer wissenschaftlicher Zeitschriften; der Gründer eines Verlages, Athena Scientific; und leitender wissenschaftlicher Berater von Bayforest Applied sciences, einem in London ansässigen quantitativen Investmentunternehmen. Seine nachhaltigste Wirkung dürfte jedoch auf seine produktive Autorschaft und Co-Autorenschaft an über 20 äußerst einflussreichen Büchern, Monographien und Lehrbüchern sowie auf sein großes Netzwerk aus Studenten, Mentees, Freunden und Mitarbeitern zurückzuführen sein.

Bertsekas erwarb seinen Bachelor-Abschluss an der Nationalen Technischen Universität von Athen, Griechenland, bevor er 1969 seinen MS in Elektrotechnik an der George Washington College und 1971 seinen Doktortitel in Systemwissenschaften am MIT erhielt. Er begann seine Fakultätslaufbahn an der Stanford College, wo er drei Jahre verbrachte, und an der College of Illinois in Urbana-Champaign, wo er weitere fünf Jahre verbrachte, bevor er 1979 ans MIT zurückkehrte. Bis dahin blieb er in der Abteilung für EECS des MIT 2019 wurde er Vollzeit-Fakultätsmitglied an der Arizona State College in Tempe. Unterwegs unterrichtete, beriet und betreute Bertsekas Studenten, die schließlich seine Kollegen an allen vier Institutionen werden sollten.

„Dimitri spielte eine entscheidende Rolle in meiner Karriere“, sagt Asu Ozdaglar, Abteilungsleiterin für EECS am MIT. „Nachdem ich an seinem Kurs zur nichtlinearen Optimierung teilgenommen hatte, beschloss ich, meinen Forschungsschwerpunkt zu ändern. Die konzeptionelle Klarheit und die mathematische Strenge, die er in jedes Thema einbrachte, kombiniert mit seiner Fähigkeit, Theorie mit wichtigen Problemen zu verbinden, bildeten eine Grundlage, die meine wissenschaftliche Arbeit in den folgenden Jahren weiter prägte.“ Eine andere ehemalige MIT-Studentin, Jinane Abounadi, jetzt geschäftsführende Direktorin des MIT Sandbox Innovation Fund Program, erinnert sich noch immer an Bertsekas‘ Unterricht als einen Höhepunkt ihrer Zeit als Studentin am MIT: „Ich bin so glücklich, Dimitri als meinen Professor und Berater gehabt zu haben. Ich hatte die Gelegenheit, von einem wahren Meister etwas über Optimierung, dynamische Programmierung und neurodynamische Programmierung zu lernen.“

Steven E. Shreve, ein ehemaliger Pupil der College of Illinois, erinnert sich, wie er von Bertsekas‘ Kurs über nichtlineare Optimierung beeindruckt warfare und fragte, ob Bertsekas darüber nachdenken würde, sein Doktorvater zu werden. „Anstatt meine Frage direkt zu beantworten, gab mir Dimitri einen vorläufigen Entwurf seines Manuskripts, aus dem schließlich sein Buch ‚Dynamic Programming and Stochastic Management‘ wurde, und bat mich, es Korrektur zu lesen“, erinnert sich Shreve, jetzt emeritierter Professor der Orion Hoch College im Fachbereich Mathematische Wissenschaften der Carnegie Mellon College. „Aus diesem Manuskript habe ich die Theorie der dynamischen Programmierung gelernt und viele wichtige Spezialfälle gemeistert. Während ich mit Dimitri sprach, während ich las, erhielt ich Einzelunterricht. Als das Buch endlich erschien, dankte Dimitri großzügig für meine Teilnahme, als hätte ich ihm einen Gefallen getan und nicht umgekehrt.“ Der Schachzug warfare typisch für Bertsekas‘ unauffällige Mentoring-Herangehensweise; Nach der ersten erfolgreichen Zusammenarbeit vermittelte Bertsekas ein Forschungsstipendium für Shreve und forderte ihn auf, eine grundlegende Frage der dynamischen Programmierung zu lösen. „Ich musste viel Mengenlehre lernen, um überhaupt über die von ihm gestellte Frage nachdenken zu können“, erinnert sich Shreve, dessen Arbeit zu dem Downside mit Bertsekas‘ Notizen kombiniert wurde, um ihr gemeinsam verfasstes Buch „Stochastic Optimum Management: The Discrete Time Case“ zu erstellen.

„Durch die Arbeit mit Dimitri an (diesem Buch) habe ich das Schreiben gelernt“, sagt Shreve. „Von Dimitri habe ich gelernt, dass man seine Forschung präsentieren muss, wenn man für sie anerkannt werden will, damit andere sie lesen wollen, und ich habe gelernt, wie man das macht.“

Die Klarheit und Eleganz des Erklärungsstils von Bertsekas sollte zu seinem pädagogischen Markenzeichen werden. „Jeder erkannte Dimitris großes Expertise als Schriftsteller, aber er ging weit darüber hinaus und organisierte ganze Themen zu etwas, das verständlich und intestine organisiert warfare“, sagt Robert Gallager, emeritierter Professor für Elektrotechnik am MIT, der 1987 gemeinsam mit Bertsekas ein Buch mit dem Titel „Information Networks“ verfasste. „Damals veränderte sich das Fachgebiet rasant, die Rechenkosten sanken alle zwei Jahre um den Faktor zwei, und am Horizont stand Glasfaser für die Übertragung. Dimitri und ich verstanden jeweils nur Teile dieses Fachgebiets, der Relaxation warfare eine rasante Lernerfahrung. Dimitri warfare hierfür der ideale Accomplice, der harte Konzepte schnell in einfache, aber genaue Erklärungen übersetzen und mein Wissen mit seinem Wissen zu einem verständlichen Ganzen verbinden konnte.“

Bertsekas‘ enger Kollege bei LIDS, Munther Dahleh, erinnert sich: „Was mich immer beeindruckte, warfare, dass man Dimitri durch seine Texte quick direkt zum Leser sprechen hören konnte. Seine Instinct, seine Gedankenklarheit und seine unverwechselbare Perspektive kommen in seinen Büchern wunderbar zum Ausdruck. Sie spiegeln nicht nur seine tiefgreifenden technischen Beiträge wider, sondern auch seine Leidenschaft für das Lehren und seinen Wunsch, anderen zu helfen, das Thema auf einer tieferen Ebene zu verstehen. … Insbesondere sein gemeinsames Buch mit John Tsitsiklis über neurodynamische Programmierung ist eine Tour de Drive Es hat viele der Ideen vorweggenommen und dazu beigetragen, sie zu definieren, die später für das verstärkende Lernen und die ungefähre dynamische Programmierung von zentraler Bedeutung waren.“

Tsitsiklis selbst erinnert sich gern an den gemeinsamen Schreibprozess mit Bertsekas: „Für Dimitri warfare Forschung eine kreative Type, die Handwerkskunst mit der Kreativität verband, die wir normalerweise Kunst nennen.“ Die Definition von Kunst und ihrer Praxis warfare für Bertsekas ein Thema großer Faszination, das er in seinem Aufsatz von 2025 ausführlich untersuchte: „Wissenschaft, Kunst und Leben„, ein Versuch, kreative Arbeit sinnvoll in drei allgemein beschreibende Rollen zu kategorisieren – Techniker, Handwerker und Künstler – und die Überschneidungen zwischen den drei Arten der Praxis zu untersuchen. Über seine klare und klare Schrift hinaus warfare Bertsekas für sein ausgeprägtes grafisches Auge bekannt, ein Expertise, das er nicht nur bei der Entwicklung von Illustrationen für alle seine Lehrbücher, sondern auch bei der Aufnahme unvergesslicher und künstlerisch inspirierter Fotografien seiner weltweiten Reisen intestine einsetzte.

Der langjährige Mitarbeiter und Freund David Castañón, heute Professor für Elektro- und Computertechnik an der Boston College, erinnert sich an Bertsekas als einen echten Renaissance-Mann, der sich aus unzähligen Quellen inspirieren ließ: „Dimitri hatte eine unstillbare Neugier für algorithmische Ideen, sowohl in der Theorie als auch in der Praxis. Viele dieser Ideen wurden von neuen Technologien inspiriert (Parallelcomputer, Reinforcement Studying, Schachalgorithmen) … Wann immer wir uns trafen, stellte Dimitri neue interessante Konzepte vor; wir arbeiteten theoretische Particulars aus, Dann übernahmen Dimitris künstlerische Talente die Oberhand: Er entwarf Grafiken zur Veranschaulichung von Konzepten und setzte Texte und Abbildungen für die zu vervollständigenden Arbeiten. Diese Talente führten zu seinem Verlag Athena Scientific, wo Dimitri und seine Co-Autoren elegante pädagogische Bände mit breiter Anziehungskraft verfassten. Tsitsiklis stimmt zu und bemerkt: „Für Dimitri ging es bei (Forschung) darum, Bedeutung zu entdecken, die ‚richtige‘ Sichtweise auf ein Thema zu finden, es zu bereichern und es durch seine produktiven Schriften kristallklar zu vermitteln.“

Viele der über 20 von Bertsekas verfassten oder mitverfassten Bücher wurden als Lehrbücher am MIT zu Themen wie Datennetzwerke, nichtlineare Programmierung, dynamische Programmierung, Netzwerkoptimierung, parallele und verteilte Berechnung, neurodynamische Programmierung, konvexe Analyse und Optimierung, Wahrscheinlichkeit und verstärkendes Lernen übernommen. Stephen Boyd, Samsung-Professor an der Faculty of Engineering in Stanford, bezeugt die große Wirkung der gesammelten Werke von Bertsekas: „Generationen von Forschern in den Bereichen Optimierung, Steuerung und vielen verwandten Bereichen haben diese Themen aus Dimitris äußerst klaren und schön geschriebenen Lehrbüchern gelernt. Ich warfare einer von ihnen; tatsächlich bin ich nicht zuletzt aufgrund von Dimitris Büchern in diese Bereiche vorgedrungen, und sein Einfluss hat mich die ganze Zeit über begleitet.“

Dieser Einfluss lässt sich an der schieren Anzahl von Auszeichnungen und Ehrungen messen, die Bertsekas im Laufe seiner Karriere gesammelt hat, darunter der INFORMS-Preis 1997 für herausragende Forschungsleistungen an der Schnittstelle zwischen Operations Analysis und Informatik für neurodynamische Programmierung, der ACC John R. Ragazzini Schooling Award 2001, der INFORMS Expository Writing Award 2009 und der ACC Richard E. Bellman Management Heritage Award 2014 „Beiträge zu den Grundlagen deterministischer und stochastischer optimierungsbasierter Methoden in Systemen und Steuerung“, der Khachiyan-Preis für Lebensleistungen in der Optimierung 2014, der George B. Dantzig-Preis SIAM/MOS 2015 und der IEEE Management Programs Award 2022. Zusammen mit seinem Co-Autor John Tsitsiklis wurde er für die Beiträge der Forschungsmonographien „Parallel and Distributed Computation“ und „Neuro-Dynamic Programming“ mit dem INFORMS John von Neumann Concept Prize 2018 ausgezeichnet. Im Jahr 2001 wurde Bertsekas für „bahnbrechende Beiträge zur Grundlagenforschung, Praxis und Ausbildung der Optimierungs-/Kontrolltheorie“ in die US-amerikanische Nationwide Academy of Engineering gewählt.

Ein persönlicherer Maßstab für Bertsekas‘ Wirkung lässt sich jedoch an der Wärme und Zuneigung ablesen, mit der sich seine Freunde, Kollegen und ehemaligen Schüler stets an ihn erinnern. Co-Autor John Tsitsiklis schrieb: „Ich hatte das größte Glück, einer seiner Lehrlinge zu sein und seine Herzlichkeit und Freundschaft miterleben zu dürfen.“ Seine ehemalige Studentin am MIT, Angelia Nedich, wurde später Bertsekas‘ Kollegin an der Arizona State College. Sie erinnert sich: „Dimitri warfare ein außergewöhnlicher Geist, eine begabte Seele, die uns Suchenden Licht brachte, aber gleichzeitig warfare er sehr bescheiden, da er auf unseren Roadtrips im Südwesten die einfachen Momente des Lebens, einen Schluck guten Kaffee, einen Bissen aromatisches Essen oder ein Glas würzige Margarita genoss. So erinnere ich mich gerne an ihn.“

Der ehemalige Pupil Benjamin Van Roy, jetzt Professor an der Stanford College, schrieb über die Verwandlung von Bertsekas von einer Autoritätsperson in einen Freund (und das Thema freundlicher Hänseleien). „Ich erinnere mich an die einschüchternden Kommentare älterer Doktoranden, als ich meine eigene Doktorandenreise in LIDS begann. Einige bezeichneten Dimitri als „Unsterblichen“. Ein anderer Kommentar, an den ich mich gerne erinnere – und an den Dimitri oft erinnert wurde – warfare: „Professor Bertsekas ist ein sehr gutaussehender Mann!“ Ihre Bindung hielt noch lange nach Van Roys Abschluss an. „Dimitri warfare ein Schatz für die Menschheit: einer der großen Gelehrten unserer Zeit, ein Mann der Renaissance und ein phänomenales Vorbild. Ich hatte das Privileg, zu den vielen zu gehören, die er als Mentor betreute, und ein noch größeres Privileg, ihn als langjährigen Freund zu betrachten.“ Yuchao Li, ein von Bertsekas betreuter Postdoktorand an der Arizona State College, erinnert sich an seinen Mentor als eine nahezu unerschöpfliche Quelle der Inspiration und Unterstützung: „Für mich warfare Professor Bertsekas wie ein liebevoller Vater voller unendlicher Weisheit. … Er schien alles zu wissen, blieb aber zutiefst bescheiden und aufgeschlossen. Er warfare immer bereit zu helfen, selbst beim geringsten Anzeichen von Schwierigkeiten in meinem Leben. Er hat mir einen dauerhaften Glauben an die allerbesten Eigenschaften des Menschen eingeflößt, und ich werde mich bemühen, diesen Glauben weiterzuführen.“

Vor Bertsekas starb sein Sohn Costas. Er hinterlässt seine Frau Joanna Bertsekas (geb. Palashas); sein Sohn Telis Bertsekas und seine Frau Wendy Bertsekas; und drei Enkelkinder, Melina, Alexandros und Leonidas.

Wird ein statistischer Ansatz verwendet, um die Frage zu beantworten: „Wie lange wird etwas dauern?“ Dieses „etwas“ kann von der Lebensdauer eines Patienten bis zur Haltbarkeit einer Maschinenkomponente oder der Dauer eines Benutzungsabonnements reichen.

Eines der am häufigsten verwendeten Werkzeuge in diesem Bereich ist die Kaplan-Meier-Schätzer.

Kaplan-Meier wurde in der Welt der Biologie geboren und debütierte, Leben und Tod zu verfolgen. Aber wie jeder wahre Promi -Algorithmus blieb er nicht auf seiner Spur. Heutzutage taucht es in Enterprise -Dashboards, Marketingteams und Wurfanalysen überall auf.

Aber hier ist der Haken: Geschäft ist keine Biologie. Es ist chaotisch, unvorhersehbar und voller Handlungswendungen. Aus diesem Grund gibt es einige Probleme, die unser Leben schwieriger machen, wenn wir versuchen, die Überlebensanalyse in der Geschäftswelt zu verwenden.

Erstens interessieren wir uns in der Regel nicht nur daran, ob ein Kunde „überlebt“ hat (was auch immer das Überleben in diesem Zusammenhang bedeuten könnte), sondern auch in Wie viel von dem wirtschaftlichen Wert dieses Individuums hat überlebt.

Zweitens entgegen der Biologie, Es ist für Kunden sehr möglich, mehrmals „zu sterben“ und zu „wiederbeleben“ (Denken Sie daran, wann Sie einen On-line -Service abmelden/neu bezeichnen).

In diesem Artikel werden wir sehen, wie der klassische Kaplan-Meier-Ansatz so erweitert wird, dass er besser zu unseren Bedürfnissen passt: Modellierung eines kontinuierlichen (wirtschaftlichen) Wertes anstelle eines binären (Leben/Tod) und „Auferstehungen“ zuzulassen.

Eine Auffrischung am Kaplan-Meier-Schätzer

Lassen Sie uns eine Sekunde innehalten und zurückspulen. Bevor wir Kaplan-Meier an unsere geschäftlichen Anforderungen anpassen, benötigen wir eine kurze Auffrischung darüber, wie die klassische Model funktioniert.

Angenommen, Sie hatten 3 Probanden (sagen wir Labormäuse) und gaben ihnen ein Medikament, das Sie testen müssen. Das Medikament wurde zu verschiedenen Zeitpunkten in der Zeit gegeben: Betreff A erhielt es im Januar, Betreff B im April und Subjekt C im Mai.

Dann messen Sie, wie lange sie überleben. Thema A starb nach 6 Monaten, Subjekt C Nach 4 Monaten und Subjekt B ist zum Zeitpunkt der Analyse (November) noch am Leben.

Grafisch können wir die 3 Themen wie folgt darstellen:

Jetzt, Selbst wenn wir eine einfache Metrik messen wollten, wie durchschnittlich das Überleben, würden wir uns einem Downside stellen. In der Tat wissen wir nicht, wie lange sie ausgesetzt sind B wird überleben, da es heute noch am Leben ist.

Dies ist ein klassisches Downside in der Statistik und es heißt “Richtige Zensur“.

Die richtige Zenserung ist Statistik-Converse für „Wir wissen nicht, was nach einem bestimmten Punkt passiert ist“ und es ist eine große Sache in der Überlebensanalyse. So groß, dass es führte zur Entwicklung eines der bekanntesten Schätzer in der statistischen Geschichte: des Kaplan-Meier-Schätzersbenannt nach dem Duo, das es in den 1950er Jahren vorgestellt hat.

Wie geht Kaplan-Meier mit unserem Downside um?

Erstens richten wir die Uhren aus. Auch wenn unsere Mäuse zu unterschiedlichen Zeiten behandelt wurden, Was zählt ist Zeit seit der Behandlung. Additionally setzen wir die zurück X-Achse auf Null für alle -Tag Null ist der Tag, an dem sie das Medikament bekommen haben.

Jetzt, wo wir alle auf derselben Zeitachse sind, möchten wir etwas Nützliches erstellen: und ein Aggregatüberlebenskurve. Diese Kurve sagt uns die Wahrscheinlichkeit, dass a typisch Maus in unserer Gruppe wird zumindest überleben X Monate nach der Behandlung.

Folgen wir gemeinsam der Logik.

• Bis zu Zeit 3? Jeder lebt noch. Additionally Überleben = 100%. Einfach.
• Zum Zeitpunkt 4 Maus C stirbt. Dies bedeutet, dass von den 3 Mäusen nur 2 von ihnen nach der Zeit überlebten 4. Dies gibt uns eine Überlebensrate von 67% zum Zeitpunkt 4.
• Dann zum Zeitpunkt 6, Maus A checkt aus. Von den 2 Mäusen, die es bis zu Zeit 6 geschafft hatten, überlebte nur 1, so dass die Überlebensrate von Zeit 5 bis 6 50percentbeträgt. Multiplizieren Sie das mit den vorherigen 67%, und wir erhalten bis zum Zeitpunkt 6 33%.
• Nach der Zeit 7 haben wir keine anderen Probanden, die lebend beobachtet werden, daher muss die Kurve hier aufhören.

Lassen Sie uns diese Ergebnisse zeichnen:

Da Code oft einfacher zu verstehen ist als Wörter, übersetzen wir dies in Python. Wir haben die folgenden Variablen:

• kaplan_meierein Array, das die Kaplan-Meier-Schätzungen für jeden Zeitpunkt enthält, z. B. die Wahrscheinlichkeit des Überlebens bis zur Zeit T.
• obs_tein Array, das uns sagt, ob eine Individual zum Zeitpunkt beobachtet wird (z. T.
• surv_tBoolesche Array, die uns sagt, ob jeder Einzelne zum Zeitpunkt lebt T.
• surv_t_minus_1Boolesche Array, die uns sagt, ob jeder Einzelne zum Zeitpunkt lebt T-1.

Wir müssen nur alle Personen mitnehmen Tberechnen ihre Überlebensrate von T-1 bis T (survival_rate_t) und multiplizieren Sie es mit der Überlebensrate bis zur Zeit T-1 (km(t-1)) um die Überlebensrate bis zur Zeit zu erhalten T (km

survival_rate_t = surv_t(obs_t).sum() / surv_t_minus_1(obs_t).sum()

kaplan_meier



Wo natürlich der Ausgangspunkt ist kaplan_meier(0) = 1.



Wenn Sie dies nicht von Grund auf neu codieren möchten, ist der Kaplan-Meier-Algorithmus in der Python-Bibliothek erhältlich lifelinesund es kann wie folgt verwendet werden:



from lifelines import KaplanMeierFitter

KaplanMeierFitter().match(
    durations=(6,7,4),
    event_observed=(1,0,1),
).survival_function_("KM_estimate")
Wenn Sie diesen Code verwenden, erhalten Sie das gleiche Ergebnis, das wir mit dem vorherigen Snippet manuell erhalten haben.
Bisher haben wir im Land der Mäuse, der Medizin und der Sterblichkeit rumgehangen. Nicht genau Ihre durchschnittliche vierteljährliche KPI -Bewertung, oder? Wie ist das im Geschäft nützlich?
Umzug in eine geschäftliche Umgebung
Bisher haben wir den „Tod“ so behandelt, als ob es offensichtlich wäre. In Kaplan-Meier Land lebt oder stirbt jemand und wir können die Zeit des Todes leicht protokollieren. Aber jetzt lassen wir uns ein paar reale geschäftliche Unordnung einrühren.
Was gleichmäßig Ist "Tod" in einem geschäftlichen Kontext?
Es stellt sich heraus, dass es nicht einfach ist, diese Frage zu beantworten, zumindest aus ein paar Gründen:

"Tod" ist nicht leicht zu definieren. Nehmen wir an, Sie arbeiten bei einem E-Commerce-Unternehmen. Sie möchten wissen, wann ein Benutzer „gestorben“ ist. Sollten Sie sie als tot zählen, wenn sie ihr Konto löschen? Das ist leicht zu verfolgen ... aber zu selten, um nützlich zu sein. Was ist, wenn sie einfach weniger einkaufen? Aber Wie Viel weniger ist tot? Eine Woche der Stille? Ein Monat? Zwei? Sie sehen das Downside. Die Definition von „Tod“ ist willkürlich, und je nachdem, wo Sie die Linie ziehen, könnte Ihre Analyse wesentlich unterschiedliche Geschichten erzählen.
"Tod" ist nicht dauerhaft. Kaplan-Meier wurde für biologische Anwendungen konzipiert, bei denen es keine Rückkehr gibt, sobald ein Individuum tot ist. Bei Geschäftsanwendungen ist die Auferstehung jedoch nicht nur möglich, sondern auch ziemlich häufig. Stellen Sie sich einen Streaming -Service vor, für den Menschen ein monatliches Abonnement zahlen. In diesem Fall ist es einfach, den „Tod“ zu definieren: Wenn Benutzer ihre Abonnements stornieren. Es ist jedoch ziemlich häufig, dass sie, einige Zeit nach dem Abbrechen, erneut abhebt.

Wie spielt sich das alles in Daten ab?
Gehen wir durch ein Spielzeugbeispiel. Sagen Sie, wir haben einen Benutzer auf unserer E-Commerce-Plattform. In den letzten 10 Monaten haben sie hier viel ausgegeben:

Um dies in das Kaplan-Meier-Framework zu drücken, müssen wir uns Übersetzen Sie dieses Ausgabenverhalten in eine Lebens- oder Todentscheidung.
Deshalb treffen wir eine Regel: Wenn ein Benutzer 2 aufeinanderfolgende Monate mehr ausgibt, erklären wir sie für „inaktiv“.
Grafisch sieht diese Regel wie folgt aus:

Da der Benutzer für zwei Monate in Folge 0 US -Greenback ausgegeben hat (Monat 4 und 5), werden wir diesen Benutzer ab Monat 4 inaktiv betrachten. Und wir werden das tun, obwohl der Benutzer im Monat 7 wieder damit ausgegeben hat. Dies liegt daran, dass in Kaplan-Meier Auferstehungen als unmöglich angenommen werden.
Fügen wir nun zwei weitere Benutzer zu unserem Beispiel hinzu. Da wir eine Regel entschieden haben, ihre Wertkurve in eine Überlebenskurve zu verwandeln, können wir auch die Kaplan-Meier-Überlebenskurve berechnen:

Inzwischen haben Sie es wahrscheinlich bemerkt Wie viel Nuance (und Daten) haben wir weggeworfen, um diese Arbeit zu machen. Benutzer A kam von den Toten zurück - aber wir haben das ignoriert. Benutzer CDie Ausgaben sind erheblich gesunken-aber Kaplan-Meier kümmert sich nicht darum, denn alles ist 1s und 0s. Wir haben einen kontinuierlichen Wert (Ausgaben) in eine binäre Field (lebendig/tot) gezwungen, und auf dem Weg haben wir viele Informationen verloren.
Die Frage ist additionally: Können wir Kaplan-Meier auf eine Weise erweitern, die:

Hält die ursprünglichen, kontinuierlichen Daten intaktAnwesend
vermeidet willkürliche binäre GrenzwerteAnwesend
Ermöglicht Auferstehungen?

Ja, wir können. Im nächsten Abschnitt werde ich Ihnen zeigen, wie.
Einführung "Wert Kaplan-Meier"
Beginnen wir mit der einfachen Kaplan-Meier-Formel, die wir zuvor gesehen haben.
# kaplan_meier: array containing the Kaplan-Meier estimates,

#               e.g. the likelihood of survival as much as time t

# obs_t: array, whether or not a topic has been noticed at time t

# surv_t: array, whether or not a topic was alive at time t

# surv_t_minus_1: array, whether or not a topic was alive at time t−1

survival_rate_t = surv_t(obs_t).sum() / surv_t_minus_1(obs_t).sum()
kaplan_meier
Die erste Änderung, die wir vornehmen müssen, besteht darin, zu ersetzen surv_t Und surv_t_minus_1die Booleschen Arrays sind, die uns sagen, ob ein Thema lebt (1) oder tot (0) mit Arrays, die uns den (wirtschaftlichen) Wert jedes Subjekts zu einem bestimmten Zeitpunkt mitteilen. Zu diesem Zweck können wir zwei genannte Arrays verwenden val_t Und val_t_minus_1.
Aber das reicht nicht aus, denn da wir mit kontinuierlichem Wert zu tun haben, Jeder Benutzer befindet sich in einer anderen Skala und so unter der Annahme, dass wir sie gleich abwägen wollen. Aber welchen Wert sollten wir verwenden? Die vernünftigste Entscheidung ist, ihren Anfangswert zum Zeitpunkt 0 zu verwenden, bevor sie von jeder Behandlung beeinflusst wurden, die wir für sie anwenden.
Deshalb müssen wir auch einen anderen Vektor benutzen, benannt val_t_0 Das repräsentiert den Wert des Individuums zum Zeitpunkt 0.
# value_kaplan_meier: array containing the Worth Kaplan-Meier estimates

# obs_t: array, whether or not a topic has been noticed at time t

# val_t_0: array, consumer worth at time 0

# val_t: array, consumer worth at time t

# val_t_minus_1: array, consumer worth at time t−1

value_rate_t = (

    (val_t(obs_t) / val_t_0(obs_t)).sum()

    / (val_t_minus_1(obs_t) / val_t_0(obs_t)).sum()

)
value_kaplan_meier
Was wir gebaut haben, ist a direkte Verallgemeinerung von Kaplan-Meier. In der Tat, wenn Sie festlegen val_t = surv_tAnwesend val_t_minus_1 = surv_t_minus_1Und val_t_0 Als eine Reihe von 1s bricht diese Formel ordentlich zu unserem ursprünglichen Überlebensschätzer zurück. Additionally ja - es ist legitim.
Und hier ist die Kurve, die wir erhalten würden, wenn wir auf diese 3 Benutzer angewendet werden.

Nennen wir diese neue Model die Wert Kaplan-Meier-Schätzer. Tatsächlich beantwortet es die Frage:
Wie viel Prozent des Wertes überleben noch im Durchschnitt noch danach X Zeit?
Wir haben die Theorie. Aber funktioniert es in freier Wildbahn?
Verwendung von Wert Kaplan-Meier in der Praxis
Wenn Sie den Wert des Kaplan-Meier-Schätzers für einen Spin für Daten in der realen Welt einnehmen und mit der guten alten Kaplan-Meier-Kurve vergleichen, werden Sie wahrscheinlich etwas Tröstliches bemerken- Sie haben oft die gleiche Type. Das ist ein gutes Zeichen. Es bedeutet, dass wir nichts Grundlegendes gebrochen haben, während wir von Binär auf kontinuierlich aufgerüstet wurden.
Aber hier werden die Dinge interessant: Wert Kaplan-Meier sitzt normalerweise ein bisschen über seine traditionelle Cousine. Warum? Denn in dieser neuen Welt dürfen Benutzer „wiederbeleben“. Kaplan-Meier, der die beiden der beiden warfare, hätte sie in dem Second geschrieben, in dem sie ruhig gingen.
Wie können wir das verwenden?
Stellen Sie sich vor, Sie führen ein Experiment durch. Zum Zeitpunkt Null beginnen Sie eine neue Behandlung einer Gruppe von Benutzern. Was auch immer es ist, Sie können nachverfolgen, wie viel Wert „überlebt“, sowohl in den Behandlungs- als auch in den Kontrollgruppen im Laufe der Zeit.
Und so wird Ihre Ausgabe wahrscheinlich aussehen:

Abschluss
Kaplan-Meier ist eine weit verbreitete und intuitive Methode zur Schätzung der Überlebensfunktionen, insbesondere wenn das Ergebnis ein binäres Ereignis wie Tod oder Misserfolg ist. Viele reale Geschäftsszenarien beinhalten jedoch mehr Komplexität-Auferstehungen sind möglich, und die Ergebnisse werden besser durch kontinuierliche Werte als ein binärer Zustand dargestellt.
In solchen Fällen bietet Wert Kaplan-Meier eine natürliche Erweiterung. Durch die Einbeziehung des wirtschaftlichen Wertes von Individuen im Laufe der Zeit ermöglicht es ein differenzierteres Verständnis der Wertbehebung und des Verfalls. Diese Methode bewahrt die Einfachheit und Interpretierbarkeit des ursprünglichen Kaplan-Meier-Schätzers gleichzeitig an, während er die Dynamik des Kundenverhaltens besser widerspiegelt.
Wert Kaplan-Meier neigt dazu, eine höhere Schätzung des zurückgehaltenen Werts im Vergleich zu Kaplan-Meier zu liefern, da die Rückgewinnung berücksichtigt wird. Dies macht es besonders nützlich, Experimente zu bewerten oder den Kundenwert im Laufe der Zeit zu verfolgen.