Wahrscheinlichkeit ist ein Eckpfeiler der Statistik und Datenwissenschaft und bietet einen Rahmen zur Quantifizierung von Unsicherheit und zur Erstellung von Vorhersagen. Das Verständnis der gemeinsamen, marginalen und bedingten Wahrscheinlichkeit ist für die Analyse von Ereignissen sowohl in unabhängigen als auch in abhängigen Szenarien von entscheidender Bedeutung. In diesem Artikel werden diese Konzepte mit klaren Erklärungen und Beispielen erläutert.
Was ist Wahrscheinlichkeit?
Die Wahrscheinlichkeit misst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, ausgedrückt als Wert zwischen 0 und 1:
- 0: Das Ereignis ist unmöglich.
- 1: Das Ereignis ist sicher.
Wenn man beispielsweise eine faire Münze wirft, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze „Kopf“ landet, 0,5.
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit
Unter gemeinsamer Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass zwei (oder mehr) Ereignisse gleichzeitig auftreten. Für die Ereignisse A und B wird es wie folgt bezeichnet:
Formel:
P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)=P(B∣A)⋅P(A)
Beispiel
Erwägen Sie, einen Würfel zu werfen und eine Münze zu werfen:
- Ereignis A: Eine 4 würfeln (Wahrscheinlichkeit = 16)
- Ereignis B: Einen Kopf umdrehen (Wahrscheinlichkeit = 12)
Wenn die Ereignisse unabhängig sind:
Grenzwahrscheinlichkeit
Die Grenzwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Ereignis eintritt, unabhängig von anderen Ereignissen. Sie wird durch Summieren der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses abgeleitet.
Für Veranstaltung A:
Beispiel
Betrachten Sie einen Datensatz von Studenten:
- 60 % sind männlich (P(Männlich)=0,6).
- 30 % spielen Basketball (P(Basketball)=0,3).
- 20 % sind Männer, die Basketball spielen (P(Männlich∩Basketball)=0,2).
Die Grenzwahrscheinlichkeit, männlich zu sein:
P(Männlich)=0,6
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit misst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses unter der Voraussetzung, dass bereits ein anderes Ereignis eingetreten ist. Für die Ereignisse A und B wird es wie folgt bezeichnet:
Beispiel
Aus dem Studentendatensatz:
- P(Männlich∩Basketball)=0,2P
- P(Basketball)=0,3
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler männlich ist, wenn er Basketball spielt:
P(Männlich∣Basketball)=P(Männlich∩Basketball)/P(Basketball)=0,2/0,3=0,67
Das bedeutet, dass 67 % der Basketballspieler männlich sind.
Beziehungen zwischen gemeinsamen, marginalen und bedingten Wahrscheinlichkeiten
- Gemeinsame Wahrscheinlichkeit und Grenzwahrscheinlichkeit
- Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit berücksichtigt mehrere Ereignisse zusammen.
- Die Grenzwahrscheinlichkeit berücksichtigt ein einzelnes Ereignis und summiert häufig über gemeinsame Wahrscheinlichkeiten.
- Gemeinsame Wahrscheinlichkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit
- Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit kann mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden:
P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)
- Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit kann mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden:
- Grenzwahrscheinlichkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit
- Die Grenzwahrscheinlichkeit kann dabei helfen, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und umgekehrt.
Python-Implementierung
Hier ist eine Python-Implementierung der gemeinsamen, marginalen und bedingten Wahrscheinlichkeit anhand einfacher Beispiele:
# Import essential library
import numpy as np
import pandas as pd
# Instance 1: Joint and Marginal Possibilities
# Simulating a dataset of scholars
knowledge = {
'Gender': ('Male', 'Male', 'Male', 'Feminine', 'Feminine', 'Feminine'),
'Basketball': ('Sure', 'No', 'Sure', 'Sure', 'No', 'No')
}
# Create a DataFrame
df = pd.DataFrame(knowledge)
# Frequency desk (Joint Likelihood Desk)
joint_prob_table = pd.crosstab(df('Gender'), df('Basketball'), normalize="all")
print("Joint Likelihood Desk:")
print(joint_prob_table)
# Marginal possibilities
marginal_gender = joint_prob_table.sum(axis=1)
marginal_basketball = joint_prob_table.sum(axis=0)
print("nMarginal Likelihood (Gender):")
print(marginal_gender)
print("nMarginal Likelihood (Basketball):")
print(marginal_basketball)
# Instance 2: Conditional Likelihood
# P(Male | Basketball = Sure)
joint_male_yes = joint_prob_table.loc('Male', 'Sure') # P(Male and Basketball = Sure)
prob_yes = marginal_basketball('Sure') # P(Basketball = Sure)
conditional_prob_male_given_yes = joint_male_yes / prob_yes
print(f"nConditional Likelihood P(Male | Basketball = Sure): {conditional_prob_male_given_yes:.2f}")
# Instance 3: Joint Likelihood for Impartial Occasions
# Rolling a die and flipping a coin
P_roll_4 = 1/6 # Likelihood of rolling a 4
P_flip_heads = 1/2 # Likelihood of flipping heads
joint_prob_roll_and_heads = P_roll_4 * P_flip_heads
print(f"nJoint Likelihood of Rolling a 4 and Flipping Heads: {joint_prob_roll_and_heads:.2f}")
Anwendungen im wirklichen Leben
- Medizinische Diagnose
- Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Der Wahrscheinlichkeit eine Krankheit zu haben und bestimmte Symptome zu zeigen.
- Grenzwahrscheinlichkeit: Die Gesamtwahrscheinlichkeit, an der Krankheit zu leiden.
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Krankheit aufgrund der Symptome vorliegt.
- Maschinelles Lernen
- Wird in Naive-Bayes-Klassifikatoren verwendet, bei denen bedingte Wahrscheinlichkeiten für Klassifizierungsaufgaben berechnet werden.
- Risikoanalyse
- Abhängigkeiten zwischen Ereignissen verstehen, beispielsweise auf den Finanzmärkten oder im Versicherungswesen.
Abschluss
Gemeinsam, marginal und bedingt erfassen Wahrscheinlichkeiten ist von entscheidender Bedeutung für die Lösung realer Probleme, die mit Unsicherheit und Abhängigkeiten verbunden sind. Diese Konzepte bilden die Grundlage für Fortgeschrittene Themen der Statistikmaschinelles Lernen und Entscheidungsfindung unter Unsicherheit. Die Beherrschung dieser Prinzipien ermöglicht eine effektive Analyse und fundierte Schlussfolgerungen.
Häufig gestellte Fragen
Antwort. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Ereignisse gleichzeitig auftreten. Beispielsweise ist in einem Datensatz von Schülern die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler männlich ist und Basketball spielt, eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit.
Antwort. Für die Ereignisse A und B wird die gemeinsame Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnet:
P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)
Wenn A und B unabhängig sind, dann:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
Antwort. Die Grenzwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Ereignis eintritt, unabhängig von anderen Ereignissen. Beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Basketball spielt, unabhängig vom Geschlecht.
Antwort. Verwenden Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit analysieren, dass mehrere Ereignisse gleichzeitig auftreten.
Verwenden Sie die Grenzwahrscheinlichkeit, wenn Sie sich auf ein einzelnes Ereignis konzentrieren, ohne andere zu berücksichtigen.
Verwenden Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses angesichts des Eintretens eines anderen Ereignisses analysieren.
Antwort. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit berücksichtigt, dass beide Ereignisse gleichzeitig auftreten (P(A∩B)).
Die bedingte Wahrscheinlichkeit berücksichtigt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, vorausgesetzt, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist (P(A∣B)).
Hallo, ich bin Janvi, ein leidenschaftlicher Knowledge-Science-Fanatic, der derzeit bei Analytics Vidhya arbeitet. Meine Reise in die Welt der Daten begann mit einer tiefen Neugier, wie wir aus komplexen Datensätzen aussagekräftige Erkenntnisse gewinnen können.