Die Lösung der Wärmediffusionsgleichung entspricht der Fourierreihe
Was würde passieren, wenn Sie einen kleinen Abschnitt eines isolierten Metallstabs erhitzen und ihn eine Zeit lang unbeachtet lassen würden? Unsere alltägliche Erfahrung mit der Wärmediffusion lässt uns vorhersagen, dass sich die Temperatur glätten wird, bis sie einheitlich ist. Bei perfekter Isolierung bleibt die Wärme für immer im Metall.
Dies ist eine korrekte qualitative Beschreibung des Phänomens, aber wie lässt es sich quantitativ beschreiben?
Wir betrachten das eindimensionale Drawback eines dünnen Metallstabs, der mit einem Isoliermaterial umwickelt ist. Die Isolierung verhindert, dass die Wärme seitlich aus dem Stab entweicht, die Wärme kann jedoch entlang der Stabachse fließen.
Den in dieser Story verwendeten Code finden Sie Hier.
Der Wärmediffusionsgleichung ist eine einfache Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei Variablen:
x ∈ (0, L) ist die Place entlang des Stabes, t ist die Zeit, u(x, t) ist die Temperatur und α ist die Wärmeleitzahl des Supplies.
Welche Erkenntnisse können wir über die Temperaturentwicklung gewinnen, wenn wir die Wärmediffusionsgleichung untersuchen?
Gleichung (1) besagt, dass Die lokale Temperaturänderungsrate ist proportional zur Krümmung, d. h. zur zweiten Ableitung des Temperaturprofils nach x..
Abbildung 1 zeigt ein Temperaturprofil mit drei Abschnitten. Der erste Abschnitt ist linear; der zweite Abschnitt hat eine detrimental zweite Ableitung und der dritte Abschnitt hat eine optimistic zweite Ableitung. Die roten Pfeile zeigen die Änderungsrate der Temperatur entlang des Stabes.
Wenn jemals ein stationärer Zustand erreicht wird, bei dem ∂u/∂t = 0 ist, muss sich das Temperaturprofil bis zu dem Punkt glätten, an dem das Temperaturprofil linear ist.
Die Lösung¹ der Wärmediffusionsgleichung (1) lautet:
Durch Differenzieren von (2) kann überprüft werden, dass die Differentialgleichung (1) erfüllt ist. Wer sich für die Herleitung interessiert, findet sie im Anhang I.
Die Koeffizienten {Aₙ}, {Bₙ}, {λₙ}, C, D und E sind Konstanten, die an die Anfangs- und Randbedingungen des Falls angepasst werden müssen. Unsere Arbeit zur Untersuchung der Fourier-Reihen wird!
Die Randbedingungen sind die bei x=0 und x=L auferlegten Einschränkungen. In praktischen Szenarien begegnen uns zwei Arten von Einschränkungen:
- Isolierung, die sich in ∂u/∂x=0 am Stabende niederschlägt. Diese Einschränkung verhindert, dass Wärme in den Stab hinein oder aus ihm heraus fließt;
- Feste Temperatur am Stabende: Die Stabspitze könnte zum Beispiel durch eine thermoelektrischer Kühlerund hält es auf der gewünschten Temperatur.
Die Kombination der Einschränkungstypen bestimmt die geeignete Variante der Fourier-Reihe zur Darstellung des anfänglichen Temperaturprofils.
Beide Enden isoliert
Wenn beide Stabenden isoliert sind, wird der Gradient des Temperaturprofils bei x=0 und x=L auf Null gesetzt:
Die Anfangsbedingung ist das Temperaturprofil entlang des Stabs bei t=0. Nehmen wir an, dass aus irgendeinem unerfindlichen Grund – vielleicht conflict der Stab von einer bösen Macht besessen – das Temperaturprofil folgendermaßen aussieht:
Um unsere Simulation der Temperaturentwicklung durchzuführen, müssen wir Gleichung (2), die bei t=0 ausgewertet wird, mit dieser Funktion abgleichen. Wir kennen das anfängliche Temperaturprofil durch Stichprobenpunkte, aber nicht seinen analytischen Ausdruck. Das ist eine Aufgabe für eine Fourierreihenentwicklung.
Aus unsere Arbeit an der Fourier-Reihehaben wir festgestellt, dass ein sogar Halbbereichserweiterung ergibt eine Funktion, deren Ableitung an beiden Enden Null ist. Das ist, was wir in diesem Fall brauchen.
Abbildung 3 zeigt die gleichmäßige Halbbereichserweiterung der Funktion aus Abbildung 2:
Obwohl die endliche Anzahl der bei der Rekonstruktion verwendeten Terme an den Diskontinuitäten zu einem gewissen Wackeln führt, ist die Ableitung an den Enden Null.
Gleichsetzen der Gleichungen (4), (5), (6) und (7) mit Gleichung (2), ausgewertet bei t=0:
Wir können die Konstanten lösen:
Schauen Sie sich (14) genauer an. Dieser Ausdruck besagt, dass λₙ proportional zum Quadrat von n ist, additionally der Anzahl der Halbperioden, die ein bestimmter Kosinusterm im Bereich (0, L) durchläuft. Mit anderen Worten: n ist proportional zur räumlichen Frequenz. Gleichung (2) enthält einen Exponentialfaktor exp(λₙt), der jede Frequenzkomponente dazu zwingt, mit der Zeit zu dämpfen. Da λₙ wie das Quadrat der Frequenz wächst, sagen wir voraus, dass die hochfrequenten Komponenten des anfänglichen Temperaturprofils viel schneller gedämpft werden als die niederfrequenten Komponenten.
Abbildung 4 zeigt eine Darstellung von u(x, t) über die erste Sekunde. Wir beobachten, dass die höherfrequente Komponente auf der rechten Seite innerhalb von 0,1 s verschwindet. Die mittelfrequente Komponente im mittleren Abschnitt nimmt deutlich ab, ist aber nach 1 s immer noch sichtbar.
Wenn die Simulation 100 Sekunden lang läuft, erhalten wir eine nahezu gleichmäßige Temperatur:
Beide Enden auf einer festen Temperatur
Wenn beide Enden auf einer konstanten Temperatur gehalten werden, haben wir Randbedingungen der Type:
Die Fourier-Reihen, die wir im vorherigen Beitrag untersucht haben, enthielten nicht den Fall von Randtemperaturen, die auf Werte ungleich Null festgelegt sind. Wir müssen das anfängliche Temperaturprofil u₀(x) neu formulieren, um eine Funktion zu entwickeln, die bei x=0 und x=L 0 auswertet. Lassen Sie uns ein verschobenes anfängliches Temperaturprofil û₀(x) definieren:
Die neu definierte Funktion û₀(x) verschiebt das anfängliche Temperaturprofil u₀(x) linear, sodass û₀(0) = û₀(L) = 0.
Zur Veranschaulichung zeigt Abbildung 6 ein beliebiges Anfangstemperaturprofil u₀ mit festgelegten Temperaturen von 30 bei x=0 und 70 bei x=0,3. Die grüne Linie (Cx + D) verläuft von (0, 30) bis (0,3, 70). Die orange Kurve stellt û₀(x) = u₀(x) — Cx — D dar:
Das verschobene anfängliche Temperaturprofil û₀(x), das an beiden Enden durch Null geht, kann erweitert werden mit ungerade Halbbereichserweiterung:
Gleichsetzen von Gleichung (2) mit (17), (18), (19), (20) und (21):
Wir können die Konstanten lösen:
Nun kann die Simulation des Temperaturverlaufs über der Zeit u(x, t) gemäß Gleichung (2) erfolgen:
Im Dauerbetrieb ist der Temperaturverlauf zwischen den beiden Sollwerten linear und es fließt konstant Wärme durch den Stab.
Isolierung am linken Ende, feste Temperatur am rechten Ende
Wir haben diese Randbedingungen:
Wir folgen im Wesentlichen dem gleichen Verfahren wie zuvor. Dieses Mal modellieren wir das anfängliche Temperaturprofil mit einem sogar Viertelbereichserweiterung um am linken Ende eine Nullableitung und am rechten Ende einen festen Wert zu erhalten:
Was zu folgenden Konstanten führt:
Die Simulation über 1000 Sekunden zeigt das erwartete Verhalten. Das linke Ende hat einen Null-Temperaturgradienten und das rechte Ende bleibt auf konstanter Temperatur. Das permanente Regime ist ein Stab mit gleichmäßiger Temperatur:
Wir haben das Drawback der Temperaturprofildynamik in einem dünnen Metallstab untersucht. Ausgehend von der zugrundeliegenden Differentialgleichung haben wir die allgemeine Lösung abgeleitet.
Wir haben verschiedene Randkonfigurationen betrachtet. Die Randszenarien führten uns dazu, das anfängliche Temperaturprofil gemäß einer der Fourierreihen-Varianten, die wir im vorherigen Beitrag hergeleitet haben. Der Fourierreihenausdruck des anfänglichen Temperaturprofils ermöglichte es uns, die Integrationskonstanten zu lösen und die Simulation von u(x, t) auszuführen.
Vielen Dank für Ihre Zeit. Sie können mit dem Code experimentieren in diesem Repository. Lass mich wissen was du denkst!