in den sozialen Medien über einen Passagier, der wegen Überbuchung aus einem Flugzeug gestoßen wurde. Wenn Sie Vielflieger sind, kann es sein, dass Sie in eine ähnliche Scenario geraten. Wenn Sie Pech haben, sind Sie es vielleicht sogar.
Das hört sich vielleicht wie ein Fehler an, aber ich kann Ihnen versichern, dass das nicht der Fall ist. Wir leben in einer Welt, in der solche betrieblichen Fehler, insbesondere in der Luftfahrtbranche, nur dann passieren, wenn sie absichtlich geschehen.
Es handelt sich additionally nicht um einen Fehler, sondern um ein Risiko, das die Fluggesellschaft eingegangen ist, um ihren Gewinn zu maximieren. Ausgefallener ausgedrückt handelt es sich hierbei um einen statistisch vorhersehbaren Kompromiss, der auf Datenwissenschaft (oder reiner Mathematik) basiert. Dies warfare eine Entscheidung, die auf Wahrscheinlichkeit und Mathematik beruhte, um möglicherweise einige zusätzliche Millionen zu gewinnen.
In diesem Artikel gehen wir dem auf den Grund und lernen viele wertvolle Konzepte rund um Wahrscheinlichkeit, Verteilungen und Erwartungswert kennen (sehr wichtige Themen für Datenwissenschaftler, Analysten und alle, die sich für Analysen interessieren).
DS Airways verkauft zusätzliche Tickets
Ich möchte diese Firma DS Airways nennen. Sie verkaufen 304 Sitzplätze für einen Flug mit einer Kapazität von 300 Sitzplätzen. Basierend auf historischen Flugdaten liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Passagier zu einem Flug erscheint, bei 95 %.
Wir werden versuchen, die folgenden Fragen zu beantworten:
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Flug überbucht ist? Dies geschieht, wenn mindestens 301 Passagiere zum Flug erscheinen.
- Wie hoch ist der erwartete Wert der Anzahl überbuchter Passagiere?
- Was riskiert die Fluggesellschaft, wenn sie mehr Tickets verkauft als verfügbare Sitzplätze?
Wir gehen zunächst davon aus, dass die Passagiere voneinander unabhängig sind. Die Entscheidung eines Passagiers, zum Flug zu erscheinen, hat keinen Einfluss auf die Entscheidungen anderer Passagiere. Dann können wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Passagier auftaucht, 0,95 (dh 95 %) beträgt.
Diese Annahme trifft nicht immer zu, da möglicherweise Familien oder Gruppen zusammen fliegen. Wenn eine Particular person in einer Familie auftaucht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch andere Familienmitglieder erscheinen, viel höher als 95 %. Wenn wir jedoch auf solche Particulars und Bedingungen eingehen, wird die Mathematik zu einem Albtraum mit komplexen bedingten Wahrscheinlichkeiten. Außerdem wissen wir möglicherweise nicht immer, wer zusammen fliegt (z. B. können Mitglieder einer Gruppe Tickets separat kaufen).
Unter der Annahme unabhängiger Passagiere können wir sagen, dass die Anzahl der Passagiere, die zum Flug erscheinen, einer Binomialverteilung folgt.
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmodell, das zum Zählen von Erfolgen in einer Reihe wiederholter, identischer und unabhängiger Ereignisse verwendet wird. Das Ergebnis dieser Ereignisse muss binär sein (dh 1 oder 0, zum Flug erscheinen oder nicht erscheinen). Daher können 304 Passagiere, die zum Flug erscheinen, mithilfe einer Binomialverteilung einer Reihe von 304 unabhängigen Ereignissen modelliert werden, wobei die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 95 % beträgt.
Damit ein Szenario für eine Binomialverteilung qualifiziert ist, muss es die folgenden Bedingungen erfüllen:
- Binäres Ergebnis: Erfolg (erscheinen zum Flug) oder Misserfolg (erscheinen nicht).
- Unabhängige Ereignisse: Das Erscheinen einer Particular person zum Flug hat keinerlei Auswirkungen auf andere Passagiere.
- Gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit: 95 % für alle Passagiere.
- Feste Anzahl an Veranstaltungen: Dies ist die Anzahl der für diesen Flug verkauften Tickets, nämlich 304.
Die Binomialverteilung hilft uns bei der Beantwortung der folgenden Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau okay erfolgreiche Ergebnisse zu erzielen, wenn ich ein Experiment mehrmals wiederhole?
Wahrscheinlichkeit einer Überbuchung
Unser Flug ist überbucht, wenn mehr als 300 Passagiere erscheinen. Daher müssen wir die Wahrscheinlichkeit von okay > 300 erfolgreichen Ergebnissen berechnen.
Bei der Binomialverteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit für okay erfolgreiche Ergebnisse:
- n ist die Gesamtzahl der Ereignisse, additionally 304
- okay ist die Anzahl der Erfolge
- p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit des Ereignisses, die 0,95 beträgt.
- (1-p) ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlerereignisses (nicht angezeigt), die 1 – 0,95 = 0,05 beträgt.
Diese Formel beruht auf der Unabhängigkeit von Ereignissen. Wenn in der Wahrscheinlichkeitstheorie A und B unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, ihre miteinander multiplizierten Einzelwahrscheinlichkeiten:
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass okay=301 Passagiere auftauchen, multiplizieren wir 301 0,95 und 5 0,05. Dann multiplizieren wir es mit dem Kombinator am Anfang. Es lautet „n wähle okay“, was für die Anzahl der verschiedenen zählt Wege Wir wählen 301 von 304 Personen aus.
Die folgende Zeichnung erleichtert das Verständnis der Logik hinter der Formel der Wahrscheinlichkeit mit Binomialverteilung etwas. Zur Vereinfachung zeigt es die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Passagiere zu einem Flug mit 5 verkauften Tickets erscheinen:
Die erste Reihe geht davon aus, dass Passagier 5 nicht erscheint, die zweite Reihe geht davon aus, dass Passagier 2 nicht erscheint. Da diese Ereignisse unabhängig und identisch sind, ist die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse gleich. Es gibt 5 Kombinationen, bei denen 1 Passagier nicht erscheint (dh 5 wählt 4 ist 5). Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass vier Passagiere zum Flug erscheinen, fünfmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Passagier nicht erscheint.
Die Antwort auf unsere erste Frage (Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Flug überbucht ist?) kann additionally als P(X > 300) berechnet werden, was der Summe von P(X=301) + P(X=302) + P(X=303) + P(X=304) entspricht:
Die Zahlen am Anfang ergeben sich aus Kombinationen:
Aus einer Gruppe von 304 Passagieren können wir auf 4.636.304 verschiedene Arten 301 Passagiere auswählen.
Das Endergebnis ist additionally:
Die genaue Wahrscheinlichkeit, dass der Flug überbucht ist, beträgt 0,000139, was etwa 0,014 % (oder etwa einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 7.200) entspricht.
Wir haben die Wahrscheinlichkeit ermittelt, dass dieser Flug überbucht sein wird. Wie wir in den obigen Berechnungen sehen können, ist der Flug überbucht, wenn 301, 302, 303 oder 304 Passagiere erscheinen (additionally 1, 2, 3 oder 4 überbuchte Passagiere). Dies bringt uns zur zweiten Frage: Wie hoch ist der erwartete Wert der Anzahl überbuchter Passagiere?
Erwarteter Wert
Anders als der Identify vermuten lässt, ist der erwartete Wert nicht das Ergebnis, das wir bei einem einzelnen Versuch erwarten. Die Antwort auf die Frage „Wie viele Passagiere werden voraussichtlich morgen auf dem Flug sein?“ ist nicht die Bedeutung von Erwartungswert.
Stattdessen handelt es sich um den mathematischen „langfristigen“ Durchschnitt einer Zufallsvariablen, wenn wir das Experiment immer wieder wiederholen. Es kann sich additionally um eine Gleitkommazahl handeln, beispielsweise 302,4 Personen.
Um den erwarteten Wert zu berechnen, gewichten wir jedes potenzielle Ergebnis anhand der Wahrscheinlichkeit, dass es tatsächlich eintritt. Es wird mindestens einen überbuchten Passagier geben, wenn 301, 302, 303 oder 304 Passagiere zum Flug erscheinen. Wir können die Wahrscheinlichkeiten verwenden, die wir bereits für diese Ereignisse berechnet haben:
Wenn 301 Passagiere erscheinen, gibt es 1 überbuchten Passagier. Wenn 302 Passagiere erscheinen, gibt es 2 überbuchte Passagiere usw. Daher beträgt der Erwartungswert der Anzahl überbuchter Passagiere 0,000166.
Betrachten wir es in einem größeren Maßstab. Wenn die Fluggesellschaft diese bestimmte Flugstrecke 10.000 Mal durchführt, hat sie insgesamt 1,66 überbuchte Passagiere (bei allen 10.000 Flügen zusammen).
Dies bringt uns zu dem Punkt, an dem wir den tatsächlichen Geschäftswert besprechen. Dies ist unsere dritte Frage: Was riskiert die Fluggesellschaft, wenn sie mehr Tickets verkauft als verfügbare Sitzplätze?
Von der reinen Mathematik zum echten Geschäft
Fügen wir unserem Beispiel mit 10.000 Flügen einige realistische Zahlen hinzu, wobei wir von einem durchschnittlichen Ticketpreis von 200 $ ausgehen:
Durch den Verkauf von 4 zusätzlichen Tickets auf jedem einzelnen dieser 10.000 Flüge generiert die Fluggesellschaft 40.000 zusätzliche Ticketverkäufe. Bei 200 US-Greenback professional Particular person sind das 8.000.000 US-Greenback an Einnahmen, die andernfalls als leere Plätze verflogen wären.
Von diesen 10.000 Flügen rechnen wir mit etwa 1,66 überbuchten Passagieren. Gemäß Verbraucherschutzbestimmungen (z. B. des US-Verkehrsministeriums) schuldet Ihnen eine Fluggesellschaft, wenn Sie unfreiwillig angefahren werden, eine Barentschädigung in Höhe von bis zu 400 % Ihres Flugpreises, maximal 2.150 US-Greenback. Selbst unter Berücksichtigung anderer Ausgaben (z. B. Hotelgutscheine) betragen die Kosten für die Fluggesellschaft über alle 10.000 Flüge hinweg weniger als 5.000 US-Greenback.
Aus rein finanzieller Sicht ist es sehr reizvoll, 5.000 US-Greenback zu riskieren, um sich zusätzliche Einnahmen in Höhe von 8 Millionen US-Greenback zu sichern.
Das Leben ist jedoch keine reine Mathematik. Eine virale Verbreitung aufgrund einer chaotischen Gate-Konfrontation kann zu einem Verlust der Kundentreue in Höhe von Tausenden von Greenback führen. Abhängig von der Schwere dieser viralen PR können Fluggesellschaften sogar an Börsenwert verlieren. Wir sind uns alle einig, dass es für das langfristige Geschäft schrecklich ist, Menschen aus Flugzeugen zu schleppen.
Auch hierfür haben die Fluggesellschaften eine Lösung. Sie führen „Reverse-Auktionen“ über ihre mobilen Apps oder am Flugsteig durch. Anstatt einen Laptop damit zu beauftragen, einen beliebigen Passagier aus dem Flug zu werfen, fragen sie: „Wer möchte den nächsten Flug für einen 500-Greenback-Gutschein nehmen? 800 Greenback? 1.500 Greenback?“
Das Flugzeug fliegt zu 100 % ausgelastet, die Einnahmen bleiben auf dem Bankkonto der Fluggesellschaft und niemand wird in den sozialen Medien viral.