Stellen Sie sich vor, Sie hätten die Aufgabe, eine Mannschaft von Fußballspielern auf ein Spielfeld zu schicken, um den Zustand des Rasens zu beurteilen (natürlich eine wahrscheinliche Aufgabe für sie). Wenn Sie ihre Positionen zufällig auswählen, könnten sie sich in einigen Bereichen zusammenballen, während sie andere völlig vernachlässigen. Wenn Sie ihnen jedoch eine Strategie vorgeben, beispielsweise eine gleichmäßige Verteilung über das Feld, erhalten Sie möglicherweise ein weitaus genaueres Bild des Graszustands.
Stellen Sie sich nun vor, Sie müssten sich nicht nur auf zwei Dimensionen verteilen, sondern auf Dutzende oder sogar Hunderte. Das ist die Herausforderung, der sich Forscher des MIT Pc Science and Synthetic Intelligence Laboratory (CSAIL) stellen. Sie haben einen KI-gesteuerten Ansatz für „Sampling mit geringer Diskrepanz“ entwickelt, eine Methode, die die Simulationsgenauigkeit verbessert, indem Datenpunkte gleichmäßiger über den Raum verteilt werden.
Eine wichtige Neuerung liegt in der Verwendung von graphischen neuronalen Netzen (GNNs), die es Punkten ermöglichen, zu „kommunizieren“ und sich für eine bessere Einheitlichkeit selbst zu optimieren. Ihr Ansatz stellt eine entscheidende Verbesserung für Simulationen in Bereichen wie Robotik, Finanzen und Informatik dar, insbesondere bei der Behandlung komplexer, mehrdimensionaler Probleme, die für genaue Simulationen und numerische Berechnungen von entscheidender Bedeutung sind.
„Bei vielen Problemen gilt: Je gleichmäßiger man die Punkte verteilen kann, desto genauer kann man komplexe Systeme simulieren“, sagt T. Konstantin Rusch, Hauptautor der neuen Arbeit und Postdoc am MIT CSAIL. „Wir haben eine Methode namens Message-Passing Monte Carlo (MPMC) entwickelt, um mithilfe geometrischer Deep-Studying-Techniken gleichmäßig verteilte Punkte zu generieren. Dies ermöglicht es uns außerdem, Punkte zu generieren, die Dimensionen hervorheben, die für ein vorliegendes Downside besonders wichtig sind, eine Eigenschaft, die in vielen Anwendungen sehr wichtig ist. Die dem Modell zugrunde liegenden graphischen neuronalen Netze lassen die Punkte miteinander „sprechen“ und erreichen so eine weitaus bessere Gleichmäßigkeit als frühere Methoden.“
Ihre Arbeit battle veröffentlicht in der Septemberausgabe der Verfahren der Nationalen Akademie der Wissenschaften.
Convey mich nach Monte Carlo
Die Idee der Monte-Carlo-Methoden besteht darin, durch Zufallsstichprobensimulation etwas über ein System zu lernen. Bei der Stichprobenziehung handelt es sich um die Auswahl einer Teilmenge einer Grundgesamtheit, um Merkmale der gesamten Grundgesamtheit abzuschätzen. Historisch gesehen wurde es bereits im 18. Jahrhundert verwendet, als der Mathematiker Pierre-Simon Laplace es einsetzte, um die Bevölkerung Frankreichs zu schätzen, ohne jeden Einzelnen zählen zu müssen.
Sequenzen mit geringer Diskrepanz, additionally Sequenzen mit geringer Diskrepanz, additionally hoher Einheitlichkeit, wie Sobol‘, Halton und Niederreiter, sind seit langem der Goldstandard für Quasi-Zufallsstichproben, bei denen Zufallsstichproben mit Stichproben mit geringer Diskrepanz ausgetauscht werden. Sie werden häufig in Bereichen wie Computergrafik und Computerfinanzierung eingesetzt, von Preisoptionen bis hin zur Risikobewertung, wo das gleichmäßige Füllen von Feldern mit Punkten zu genaueren Ergebnissen führen kann.
Das vom Group vorgeschlagene MPMC-Framework wandelt Zufallsstichproben in Punkte mit hoher Einheitlichkeit um. Dies erfolgt durch die Verarbeitung der Zufallsstichproben mit einem GNN, das ein bestimmtes Diskrepanzmaß minimiert.
Eine große Herausforderung bei der Verwendung von KI zur Generierung hochgradig einheitlicher Punkte besteht darin, dass die übliche Methode zur Messung der Punktgleichmäßigkeit sehr langsam zu berechnen und schwer zu handhaben ist. Um dieses Downside zu lösen, wechselte das Group zu einem schnelleren und flexibleren Einheitlichkeitsmaß namens L2-Diskrepanz. Bei hochdimensionalen Problemen, bei denen diese Methode allein nicht ausreicht, nutzen sie eine neuartige Technik, die sich auf wichtige niederdimensionale Projektionen der Punkte konzentriert. Auf diese Weise können sie Punktmengen erstellen, die für bestimmte Anwendungen besser geeignet sind.
Die Auswirkungen reichen weit über die akademische Welt hinaus, sagt das Group. Im Computational Finance beispielsweise hängen Simulationen stark von der Qualität der Stichprobenpunkte ab. „Bei dieser Artwork von Methoden sind Zufallspunkte oft ineffizient, aber unsere GNN-generierten Punkte mit geringer Diskrepanz führen zu einer höheren Präzision“, sagt Rusch. „Zum Beispiel haben wir ein klassisches Downside aus der Finanzinformatik in 32 Dimensionen betrachtet, bei dem unsere MPMC-Punkte frühere, hochmoderne quasi-zufällige Stichprobenmethoden um den Faktor vier bis 24 übertreffen.“
Roboter in Monte Carlo
In der Robotik stützen sich Bahn- und Bewegungsplanungen häufig auf stichprobenbasierte Algorithmen, die Roboter in Echtzeit durch Entscheidungsprozesse führen. Die verbesserte Einheitlichkeit von MPMC könnte zu einer effizienteren Roboternavigation und Echtzeitanpassungen für Dinge wie autonomes Fahren oder Drohnentechnologie führen. „Tatsächlich haben wir in einem aktuellen Vorabdruck gezeigt, dass unsere MPMC-Punkte eine vierfache Verbesserung gegenüber früheren Methoden mit geringer Diskrepanz erzielen, wenn sie auf reale Bewegungsplanungsprobleme in der Robotik angewendet werden“, sagt Rusch.
„Traditionelle Sequenzen mit geringer Diskrepanz waren zu ihrer Zeit ein großer Fortschritt, aber die Welt ist komplexer geworden und die Probleme, die wir heute lösen, existieren oft in 10-, 20- oder sogar 100-dimensionalen Räumen“, sagt Daniela Rus, CSAIL Direktor und MIT-Professor für Elektrotechnik und Informatik. „Wir brauchten etwas Intelligenteres, etwas, das sich anpasst, wenn die Dimensionalität wächst. GNNs stellen einen Paradigmenwechsel in der Artwork und Weise dar, wie wir Punktmengen mit geringer Diskrepanz generieren. Im Gegensatz zu herkömmlichen Methoden, bei denen Punkte unabhängig voneinander generiert werden, ermöglichen GNNs den Punkten, miteinander zu „chatten“, sodass das Netzwerk lernt, Punkte so zu platzieren, dass Clusterbildung und Lücken reduziert werden – häufige Probleme bei typischen Ansätzen.“
Für die Zukunft plant das Group, MPMC-Punkte für jedermann noch zugänglicher zu machen und dabei die derzeitige Beschränkung zu beseitigen, für jede feste Anzahl von Punkten und Dimensionen ein neues GNN zu trainieren.
„Ein Großteil der angewandten Mathematik verwendet kontinuierlich variierende Größen, aber Berechnungen erlauben es uns normalerweise, nur eine endliche Anzahl von Punkten zu verwenden“, sagt Artwork B. Owen, Professor für Statistik an der Stanford College, der nicht an der Forschung beteiligt battle. „Das über Jahrhunderte alte Gebiet der Diskrepanz nutzt abstrakte Algebra und Zahlentheorie, um effektive Stichprobenpunkte zu definieren. In diesem Artikel werden grafische neuronale Netze verwendet, um Eingabepunkte mit geringer Diskrepanz im Vergleich zu einer kontinuierlichen Verteilung zu finden. Dieser Ansatz kommt den bekanntesten Punktmengen mit geringer Diskrepanz bei kleinen Problemen bereits sehr nahe und ist vielversprechend für ein 32-dimensionales Integral aus der Finanzmathematik. Wir können davon ausgehen, dass dies der erste von vielen Versuchen sein wird, mithilfe neuronaler Methoden gute Eingabepunkte für numerische Berechnungen zu finden.“
Rusch und Rus haben das Papier zusammen mit Nathan Kirk, Forscher an der College of Waterloo, Michael Bronstein, DeepMind-Professor für KI an der Universität Oxford und ehemaliger CSAIL-Accomplice, und Christiane Lemieux, Professorin für Statistik und Versicherungsmathematik an der College of Waterloo, verfasst. Ihre Forschung wurde teilweise vom AI2050-Programm von Schmidt Futures, Boeing, dem United States Air Pressure Analysis Laboratory und dem United States Air Pressure Synthetic Intelligence Accelerator, dem Schweizerischen Nationalfonds, dem Pure Science and Engineering Analysis Council of Canada, unterstützt. und ein EPSRC Turing AI World-Main Analysis Fellowship.