Wie wir vor ein paar Jahren besprochenIch denke, dass Venn -Diagramme über drei Kreise hinaus keine praktischen Nutzung haben, aber wir sollten uns alle einig sein, dass die obigen Bilder hübsch sind.
Jack Murtagh liefert den Hintergrund:
Haben Sie jemals ein richtiges Venn -Diagramm mit vier überlappenden Kreisen gesehen? Nein, weil es unmöglich ist. . . . John Venn wusste von dem Manko mit Kreisen, additionally schlug er die Ellipsen vor, vier Sätze zu repräsentieren. . . . Dies überwindet die Einschränkungen mit Kreisen, jedoch nur vorübergehend. Ellipsen arbeiten für vier und fünf Sätze, bevor sie so ausfallen, wie es Kreise taten. Wenn die Anzahl der Units wächst, brauchen wir immer exotischere Formen, um sie darzustellen.
Nachdem ich das gelesen hatte, nahm ich an, dass in sechs oder mehr Abmessungen ein vollständiges Venn -Diagramm mindestens eine nicht konvexe Type erfordern würde. Aber ich habe mich geirrt – eine schnelle Google -Suche führte zu Dieser Artikel Von 1997 bis 2005 von Frank Ruskey und Mark Weston mit vielen Particulars.
Murtagh geht weiter:
Man könnte vernünftigerweise argumentieren, dass Venn -Diagramme über vier Elemente, die ihren Nutzen verlieren, verlieren. Das Vier-Legipse-Bild ist bereits ziemlich chaotisch. Vielleicht sollten wir für fünf Sätze visuelle Darstellungen aufgeben. Aber Nutzen animiert den Mathematiker nicht so sehr wie Schönheit und Neugier.
Vereinbart! Abgesehen davon, dass ich sagen würde, dass das Vier-Elipse-Bild bereits zu kompliziert ist, als dass ich mir vorstellen kann, dass es auf jeden Fall nützlich ist. Sogar das Dreikreis-Venn-Diagramm scheint mir nicht praktische Zwecke als pädagogisch zu dienen.
Auf jeden Fall ist hier die faszinierende Pointe:
Venn und seine Nachfolger glaubten, dass Ellipsen nicht alle 32 Regionen darstellen konnten, die für ein Fünf-Set-Diagramm erforderlich waren. Erst 1975 hat der Mathematiker Branko Grunbaum sie anhand eines Beispiels als falsch erwiesen (siehe Bild oben). . . Das Diagramm von Grunbaum zeigt eine angenehme Rotationssymmetrie. . . . Typische Venn-Diagramme mit zwei und drei Kreisen teilen diese Eigenschaft. . . . Aber das Vier-Legipse-Diagramm hat keine Rotationssymmetrie. Kann das repariert werden? Was haben zwei, drei und fünf gemeinsam, dass vier nicht?
1960 beantwortete David W. Henderson, ein damaliger Pupil am Swarthmore Faculty, diese Frage mit einer überraschenden Entdeckung (Stan Wagon und Peter Webb füllten einige Lücken später): Rotationssymmetrische Venn -Diagramme sind nur möglich, wenn die Anzahl der Sätze nur eine Primzahl ist. Eine Zahl divisible nur durch 1, und 1. Entwerfen Sie für jede Primzahl ein symmetrisches Venn -Diagramm. . . . Mathematiker an der Universität von South Carolina haben die Frage 2004 angesiedelt, indem sie zeigten, dass für jede Primzahl von Sätzen rotational symmetrische Venn -Diagramme vorhanden sind.
Cool! Nur eine Sache. Ich habe keine Ahnung, warum Murtagh Henderson, Wagon und Webb nannte, aber die „Mathematiker an der Universität von South Carolina“, die die Frage geklärt haben, nameless verlassen. Er hyperlinks zu das PapierDamit ich die Namen der Autoren teilen kann: Sie sind Jerrold Griggs, Charles E. Killian und Carla D. Savage. Danke, Jerrold, Charles und Carla!